सोडोवचें {l}{y=4x+5}{4x-3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 4 x + 5 } \\ { 4 x - 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

y, x खातीर सोडोवचें

$$x = -\frac{9}{4} = -2\frac{1}{4} = -2.25$$

$$y=-4$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 4x वजा करचें.

$$y-4x=5$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक y वेगळावन y खातीर तें सोडोवचें.

$$y-4x=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4x ची बेरीज करची.

$$y=4x+5$$

-3y+4x=3 ह्या दुस-या समिकरणांत y खातीर 4x+5 बदलपी घेवचो.

$$-3\left(4x+5\right)+4x=3$$

4x+5क -3 फावटी गुणचें.

$$-12x-15+4x=3$$

4x कडेन -12x ची बेरीज करची.

$$-8x-15=3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 15 ची बेरीज करची.

$$-8x=18$$

दोनुय कुशींक -8 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{9}{4}$$

y=4x+5 त x खातीर -\frac{9}{4} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$y=4\left(-\frac{9}{4}\right)+5$$

-\frac{9}{4}क 4 फावटी गुणचें.

$$y=-9+5$$

-9 कडेन 5 ची बेरीज करची.

$$y=-4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 4x वजा करचें.

$$y-4x=5$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}&-\frac{-4}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 5-\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{3}{8}\times 5-\frac{1}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-\frac{9}{4}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां y आनी x काडचीं.

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 4x वजा करचें.

$$y-4x=5$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

y आनी -3y बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$-3y-3\left(-4\right)x=-3\times 5,-3y+4x=3$$

सोंपें करचें.

$$-3y+12x=-15,-3y+4x=3$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -3y+12x=-15 तल्यान -3y+4x=3 वजा करचो.

$$-3y+3y+12x-4x=-15-3$$

3y कडेन -3y ची बेरीज करची. अटी -3y आनी 3y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$12x-4x=-15-3$$

-4x कडेन 12x ची बेरीज करची.

$$8x=-15-3$$

-3 कडेन -15 ची बेरीज करची.

$$8x=-18$$

दोनुय कुशींक 8 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{9}{4}$$

-3y+4x=3 त x खातीर -\frac{9}{4} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-3y+4\left(-\frac{9}{4}\right)=3$$

-\frac{9}{4}क 4 फावटी गुणचें.

$$-3y-9=3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 9 ची बेरीज करची.

$$-3y=12$$

दोनुय कुशींक -3 न भाग लावचो.

$$y=-4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$