सोडोवचें {l}{y=-4/6x-5}{8x+5y=-45}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - \frac { 4 } { 6 } x - 5 } \\ { 8 x + 5 y = - 45 } \end{array} \right.$$

y, x खातीर सोडोवचें

$$x = -\frac{30}{7} = -4\frac{2}{7} \approx -4.285714286$$

$$y = -\frac{15}{7} = -2\frac{1}{7} \approx -2.142857143$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. 2 भायर काडून आनी रद्द करून एकदम उण्या संज्ञेत अपुर्णांक \frac{4}{6} उणो करचो.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

5y+8x=-45 ह्या दुस-या समिकरणांत y खातीर -\frac{2x}{3}-5 बदलपी घेवचो.

$$5\left(-\frac{2}{3}x-5\right)+8x=-45$$

-\frac{2x}{3}-5क 5 फावटी गुणचें.

$$-\frac{10}{3}x-25+8x=-45$$

8x कडेन -\frac{10x}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{14}{3}x-25=-45$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 25 ची बेरीज करची.

$$\frac{14}{3}x=-20$$

\frac{14}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$x=-\frac{30}{7}$$

y=-\frac{2}{3}x-5 त x खातीर -\frac{30}{7} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$y=-\frac{2}{3}\left(-\frac{30}{7}\right)-5$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{30}{7} क -\frac{2}{3} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$y=\frac{20}{7}-5$$

\frac{20}{7} कडेन -5 ची बेरीज करची.

$$y=-\frac{15}{7}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. 2 भायर काडून आनी रद्द करून एकदम उण्या संज्ञेत अपुर्णांक \frac{4}{6} उणो करचो.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

दोनूय वटांनी \frac{2}{3}x जोडचे.

$$y+\frac{2}{3}x=-5$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$y+\frac{2}{3}x=-5,5y+8x=-45$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\frac{2}{3}\times 5}&-\frac{\frac{2}{3}}{8-\frac{2}{3}\times 5}\\-\frac{5}{8-\frac{2}{3}\times 5}&\frac{1}{8-\frac{2}{3}\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{15}{14}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}\left(-5\right)-\frac{1}{7}\left(-45\right)\\-\frac{15}{14}\left(-5\right)+\frac{3}{14}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{7}\\-\frac{30}{7}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां y आनी x काडचीं.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. 2 भायर काडून आनी रद्द करून एकदम उण्या संज्ञेत अपुर्णांक \frac{4}{6} उणो करचो.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

दोनूय वटांनी \frac{2}{3}x जोडचे.

$$y+\frac{2}{3}x=-5$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$y+\frac{2}{3}x=-5,5y+8x=-45$$

y आनी 5y बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$5y+5\times \frac{2}{3}x=5\left(-5\right),5y+8x=-45$$

सोंपें करचें.

$$5y+\frac{10}{3}x=-25,5y+8x=-45$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 5y+\frac{10}{3}x=-25 तल्यान 5y+8x=-45 वजा करचो.

$$5y-5y+\frac{10}{3}x-8x=-25+45$$

-5y कडेन 5y ची बेरीज करची. अटी 5y आनी -5y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$\frac{10}{3}x-8x=-25+45$$

-8x कडेन \frac{10x}{3} ची बेरीज करची.

$$-\frac{14}{3}x=-25+45$$

45 कडेन -25 ची बेरीज करची.

$$-\frac{14}{3}x=20$$

-\frac{14}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$x=-\frac{30}{7}$$

5y+8x=-45 त x खातीर -\frac{30}{7} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$5y+8\left(-\frac{30}{7}\right)=-45$$

-\frac{30}{7}क 8 फावटी गुणचें.

$$5y-\frac{240}{7}=-45$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{240}{7} ची बेरीज करची.

$$5y=-\frac{75}{7}$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{15}{7}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$