सोडोवचें {l}{y=1/2x-1}{2x+y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 2 } x - 1 } \\ { 2 x + y = 4 } \end{array} \right.$$

y, x खातीर सोडोवचें

$$x=2$$

$$y=0$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान \frac{1}{2}x वजा करचें.

$$y-\frac{1}{2}x=-1$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$y-\frac{1}{2}x=-1,y+2x=4$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक y वेगळावन y खातीर तें सोडोवचें.

$$y-\frac{1}{2}x=-1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{x}{2} ची बेरीज करची.

$$y=\frac{1}{2}x-1$$

y+2x=4 ह्या दुस-या समिकरणांत y खातीर \frac{x}{2}-1 बदलपी घेवचो.

$$\frac{1}{2}x-1+2x=4$$

2x कडेन \frac{x}{2} ची बेरीज करची.

$$\frac{5}{2}x-1=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 1 ची बेरीज करची.

$$\frac{5}{2}x=5$$

\frac{5}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$x=2$$

y=\frac{1}{2}x-1 त x खातीर 2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$y=\frac{1}{2}\times 2-1$$

2क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$y=1-1$$

1 कडेन -1 ची बेरीज करची.

$$y=0$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=0,x=2$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान \frac{1}{2}x वजा करचें.

$$y-\frac{1}{2}x=-1$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$y-\frac{1}{2}x=-1,y+2x=4$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&\frac{1}{2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\left(-1\right)+\frac{1}{5}\times 4\\-\frac{2}{5}\left(-1\right)+\frac{2}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां y आनी x काडचीं.

$$y=0,x=2$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान \frac{1}{2}x वजा करचें.

$$y-\frac{1}{2}x=-1$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$y-\frac{1}{2}x=-1,y+2x=4$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून y-\frac{1}{2}x=-1 तल्यान y+2x=4 वजा करचो.

$$y-y-\frac{1}{2}x-2x=-1-4$$

-y कडेन y ची बेरीज करची. अटी y आनी -y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-\frac{1}{2}x-2x=-1-4$$

-2x कडेन -\frac{x}{2} ची बेरीज करची.

$$-\frac{5}{2}x=-1-4$$

-4 कडेन -1 ची बेरीज करची.

$$-\frac{5}{2}x=-5$$

-\frac{5}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$x=2$$

y+2x=4 त x खातीर 2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$y+2\times 2=4$$

2क 2 फावटी गुणचें.

$$y+4=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4 वजा करचें.

$$y=0$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=0,x=2$$