सोडोवचें {l}{x_{1}+x_{2}=97}{frac{x_{2}}{x_{1}}=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x _ { 1 } + x _ { 2 } = 97 } \\ { \frac { x _ { 2 } } { x _ { 1 } } = 2 } \end{array} \right.$$

x_1, x_2 खातीर सोडोवचें

$$x_{1} = \frac{97}{3} = 32\frac{1}{3} \approx 32.333333333$$

$$x_{2} = \frac{194}{3} = 64\frac{2}{3} \approx 64.666666667$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. विभागणी शुन्यची व्याख्या नाशिल्ल्यान अचल x_{1} हो 0 च्या समान आसूंक शकना. x_{1} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$x_{2}=2x_{1}$$

दोनूय कुशींतल्यान 2x_{1} वजा करचें.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x_{1} वेगळावन x_{1} खातीर तें सोडोवचें.

$$x_{1}+x_{2}=97$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान x_{2} वजा करचें.

$$x_{1}=-x_{2}+97$$

-2x_{1}+x_{2}=0 ह्या दुस-या समिकरणांत x_{1} खातीर -x_{2}+97 बदलपी घेवचो.

$$-2\left(-x_{2}+97\right)+x_{2}=0$$

-x_{2}+97क -2 फावटी गुणचें.

$$2x_{2}-194+x_{2}=0$$

x_{2} कडेन 2x_{2} ची बेरीज करची.

$$3x_{2}-194=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 194 ची बेरीज करची.

$$3x_{2}=194$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x_{2}=\frac{194}{3}$$

x_{1}=-x_{2}+97 त x_{2} खातीर \frac{194}{3} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x_{1} खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x_{1}=-\frac{194}{3}+97$$

-\frac{194}{3} कडेन 97 ची बेरीज करची.

$$x_{1}=\frac{97}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. विभागणी शुन्यची व्याख्या नाशिल्ल्यान अचल x_{1} हो 0 च्या समान आसूंक शकना. x_{1} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$x_{2}=2x_{1}$$

दोनूय कुशींतल्यान 2x_{1} वजा करचें.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{1}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 97\\\frac{2}{3}\times 97\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{97}{3}\\\frac{194}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x_{1} आनी x_{2} काडचीं.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. विभागणी शुन्यची व्याख्या नाशिल्ल्यान अचल x_{1} हो 0 च्या समान आसूंक शकना. x_{1} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$x_{2}=2x_{1}$$

दोनूय कुशींतल्यान 2x_{1} वजा करचें.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून x_{1}+x_{2}=97 तल्यान -2x_{1}+x_{2}=0 वजा करचो.

$$x_{1}+2x_{1}+x_{2}-x_{2}=97$$

-x_{2} कडेन x_{2} ची बेरीज करची. अटी x_{2} आनी -x_{2} रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$x_{1}+2x_{1}=97$$

2x_{1} कडेन x_{1} ची बेरीज करची.

$$3x_{1}=97$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x_{1}=\frac{97}{3}$$

-2x_{1}+x_{2}=0 त x_{1} खातीर \frac{97}{3} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x_{2} खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-2\times \frac{97}{3}+x_{2}=0$$

\frac{97}{3}क -2 फावटी गुणचें.

$$-\frac{194}{3}+x_{2}=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{194}{3} ची बेरीज करची.

$$x_{2}=\frac{194}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$