सोडोवचें {l}{x-y=10}{2x+(2y+1/2)=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 10 } \\ { 2 x + ( 2 y + \frac { 1 } { 2 } ) = 200 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{439}{8} = 54\frac{7}{8} = 54.875$$

$$y = \frac{359}{8} = 44\frac{7}{8} = 44.875$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x-y=10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y ची बेरीज करची.

$$x=y+10$$

2x+2y+\frac{1}{2}=200 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर y+10 बदलपी घेवचो.

$$2\left(y+10\right)+2y+\frac{1}{2}=200$$

y+10क 2 फावटी गुणचें.

$$2y+20+2y+\frac{1}{2}=200$$

2y कडेन 2y ची बेरीज करची.

$$4y+20+\frac{1}{2}=200$$

\frac{1}{2} कडेन 20 ची बेरीज करची.

$$4y+\frac{41}{2}=200$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{41}{2} वजा करचें.

$$4y=\frac{359}{2}$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$y=\frac{359}{8}$$

x=y+10 त y खातीर \frac{359}{8} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{359}{8}+10$$

\frac{359}{8} कडेन 10 ची बेरीज करची.

$$x=\frac{439}{8}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 10+\frac{1}{4}\times \frac{399}{2}\\-\frac{1}{2}\times 10+\frac{1}{4}\times \frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{439}{8}\\\frac{359}{8}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

x आनी 2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

सोंपें करचें.

$$2x-2y=20,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 2x-2y=20 तल्यान 2x+2y+\frac{1}{2}=200 वजा करचो.

$$2x-2x-2y-2y-\frac{1}{2}=20-200$$

-2x कडेन 2x ची बेरीज करची. अटी 2x आनी -2x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-2y-2y-\frac{1}{2}=20-200$$

-2y कडेन -2y ची बेरीज करची.

$$-4y-\frac{1}{2}=20-200$$

-200 कडेन 20 ची बेरीज करची.

$$-4y-\frac{1}{2}=-180$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{1}{2} ची बेरीज करची.

$$-4y=-\frac{359}{2}$$

दोनुय कुशींक -4 न भाग लावचो.

$$y=\frac{359}{8}$$

2x+2y+\frac{1}{2}=200 त y खातीर \frac{359}{8} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x+2\times \frac{359}{8}+\frac{1}{2}=200$$

\frac{359}{8}क 2 फावटी गुणचें.

$$2x+\frac{359}{4}+\frac{1}{2}=200$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{1}{2} क \frac{359}{4} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$2x+\frac{361}{4}=200$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{361}{4} वजा करचें.

$$2x=\frac{439}{4}$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{439}{8}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$