सोडोवचें {l}{x-y+3/2=3x+y+1}{5x+y/2=2x-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - \frac { y + 3 } { 2 } = 3 x + y + 1 } \\ { \frac { 5 x + y } { 2 } = 2 x - 1 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=1$$

$$y=-3$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. 2 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

y+3 चो विरोधी सोदूंक, दरेक सज्ञेचो विरोधी सोदचो.

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

दोनूय कुशींतल्यान 6x वजा करचें.

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

-4x मेळोवंक 2x आनी -6x एकठांय करचें.

$$-4x-y-3=2y+2$$

दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$-4x-y-3-2y=2$$

-3y मेळोवंक -y आनी -2y एकठांय करचें.

$$-4x-3y-3=2$$

दोनूय वटांनी 3 जोडचे.

$$-4x-3y=2+3$$

5 मेळोवंक 2 आनी 3 ची बेरीज करची.

$$-4x-3y=5$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 2 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$5x+y=4x-2$$

दोनूय कुशींतल्यान 4x वजा करचें.

$$5x+y-4x=-2$$

x मेळोवंक 5x आनी -4x एकठांय करचें.

$$x+y=-2$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-4x-3y=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y ची बेरीज करची.

$$-4x=3y+5$$

दोनुय कुशींक -4 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{4}\left(3y+5\right)$$

3y+5क -\frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}$$

x+y=-2 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-3y-5}{4} बदलपी घेवचो.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}+y=-2$$

y कडेन -\frac{3y}{4} ची बेरीज करची.

$$\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}=-2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{5}{4} ची बेरीज करची.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{3}{4}$$

दोनूय कुशीनीं 4 न गुणचें.

$$y=-3$$

x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4} त y खातीर -3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-3\right)-\frac{5}{4}$$

-3क -\frac{3}{4} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{9-5}{4}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{9}{4} क -\frac{5}{4} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1,y=-3$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. 2 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

y+3 चो विरोधी सोदूंक, दरेक सज्ञेचो विरोधी सोदचो.

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

दोनूय कुशींतल्यान 6x वजा करचें.

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

-4x मेळोवंक 2x आनी -6x एकठांय करचें.

$$-4x-y-3=2y+2$$

दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$-4x-y-3-2y=2$$

-3y मेळोवंक -y आनी -2y एकठांय करचें.

$$-4x-3y-3=2$$

दोनूय वटांनी 3 जोडचे.

$$-4x-3y=2+3$$

5 मेळोवंक 2 आनी 3 ची बेरीज करची.

$$-4x-3y=5$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 2 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$5x+y=4x-2$$

दोनूय कुशींतल्यान 4x वजा करचें.

$$5x+y-4x=-2$$

x मेळोवंक 5x आनी -4x एकठांय करचें.

$$x+y=-2$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{4}{-4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-3\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5-3\left(-2\right)\\5+4\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=1,y=-3$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. 2 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

y+3 चो विरोधी सोदूंक, दरेक सज्ञेचो विरोधी सोदचो.

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

दोनूय कुशींतल्यान 6x वजा करचें.

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

-4x मेळोवंक 2x आनी -6x एकठांय करचें.

$$-4x-y-3=2y+2$$

दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$-4x-y-3-2y=2$$

-3y मेळोवंक -y आनी -2y एकठांय करचें.

$$-4x-3y-3=2$$

दोनूय वटांनी 3 जोडचे.

$$-4x-3y=2+3$$

5 मेळोवंक 2 आनी 3 ची बेरीज करची.

$$-4x-3y=5$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 2 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$5x+y=4x-2$$

दोनूय कुशींतल्यान 4x वजा करचें.

$$5x+y-4x=-2$$

x मेळोवंक 5x आनी -4x एकठांय करचें.

$$x+y=-2$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

-4x आनी x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -4 न गुणचें.

$$-4x-3y=5,-4x-4y=-4\left(-2\right)$$

सोंपें करचें.

$$-4x-3y=5,-4x-4y=8$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -4x-3y=5 तल्यान -4x-4y=8 वजा करचो.

$$-4x+4x-3y+4y=5-8$$

4x कडेन -4x ची बेरीज करची. अटी -4x आनी 4x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-3y+4y=5-8$$

4y कडेन -3y ची बेरीज करची.

$$y=5-8$$

-8 कडेन 5 ची बेरीज करची.

$$y=-3$$

x+y=-2 त y खातीर -3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x-3=-2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3 ची बेरीज करची.

$$x=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1,y=-3$$