सोडोवचें {l}{x(1-2x)-y(1-y)=(y-sqrt{2}x)(y+sqrt{2}x)+3}{2x-(2y-1/4)^2+161/16=(2y+3)(3-2y)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x ( 1 - 2 x ) - y ( 1 - y ) = ( y - \sqrt { 2 } x ) ( y + \sqrt { 2 } x ) + 3 } \\ { 2 x - ( 2 y - \frac { 1 } { 4 } ) ^ { 2 } + 16 \frac { 1 } { 16 } = ( 2 y + 3 ) ( 3 - 2 y ) } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

$$y = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3} \approx -4.333333333$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. 1-2x न x गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

1-y न y गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

y-y^{2} चो विरोधी सोदूंक, दरेक सज्ञेचो विरोधी सोदचो.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

विचारांत घेयात \left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right). नेम वापरून गुणाकार विभिन्न चवकोनांत रुपांतरण करूं येताः \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3$$

\left(\sqrt{2}x\right)^{2} विस्तारीत करचो.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3$$

\sqrt{2} चो वर्ग 2 आसा.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3$$

दोनूय कुशींतल्यान y^{2} वजा करचें.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3$$

0 मेळोवंक y^{2} आनी -y^{2} एकठांय करचें.

$$x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3$$

दोनूय वटांनी 2x^{2} जोडचे.

$$x-2x^{2}-y+2x^{2}=3$$

0 मेळोवंक -2x^{2} आनी 2x^{2} एकठांय करचें.

$$x-y=3$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 16 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

बायनोमियल प्रमेयाचो वापर करून \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} विस्तारावचें \left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}.

$$16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

4y^{2}-y+\frac{1}{16} चो विरोधी सोदूंक, दरेक सज्ञेचो विरोधी सोदचो.

$$16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16} न 16 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

256 मेळोवंक 16 आनी 16 गुणचें.

$$32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

255 मेळोवंक -1 आनी 256 ची बेरीज करची.

$$32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

256 मेळोवंक 255 आनी 1 ची बेरीज करची.

$$32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

2y+3 न 16 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)$$

वितरक गूणधर्माचो वापर करून 32y+48 क 3-2y न गुणचें आनी संज्ञां भशेन एकठावणी करची.

$$32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144$$

दोनूय वटांनी 64y^{2} जोडचे.

$$32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144$$

0 मेळोवंक -64y^{2} आनी 64y^{2} एकठांय करचें.

$$32x+16y+256=144$$

दोनूय कुशींतल्यान 256 वजा करचें.

$$32x+16y=144-256$$

-112 मेळोवंक 144 आनी 256 वजा करचे.

$$32x+16y=-112$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x-y=3,32x+16y=-112$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x-y=3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y ची बेरीज करची.

$$x=y+3$$

32x+16y=-112 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर y+3 बदलपी घेवचो.

$$32\left(y+3\right)+16y=-112$$

y+3क 32 फावटी गुणचें.

$$32y+96+16y=-112$$

16y कडेन 32y ची बेरीज करची.

$$48y+96=-112$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 96 वजा करचें.

$$48y=-208$$

दोनुय कुशींक 48 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{13}{3}$$

x=y+3 त y खातीर -\frac{13}{3} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{13}{3}+3$$

-\frac{13}{3} कडेन 3 ची बेरीज करची.

$$x=-\frac{4}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. 1-2x न x गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

1-y न y गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

y-y^{2} चो विरोधी सोदूंक, दरेक सज्ञेचो विरोधी सोदचो.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

विचारांत घेयात \left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right). नेम वापरून गुणाकार विभिन्न चवकोनांत रुपांतरण करूं येताः \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3$$

\left(\sqrt{2}x\right)^{2} विस्तारीत करचो.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3$$

\sqrt{2} चो वर्ग 2 आसा.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3$$

दोनूय कुशींतल्यान y^{2} वजा करचें.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3$$

0 मेळोवंक y^{2} आनी -y^{2} एकठांय करचें.

$$x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3$$

दोनूय वटांनी 2x^{2} जोडचे.

$$x-2x^{2}-y+2x^{2}=3$$

0 मेळोवंक -2x^{2} आनी 2x^{2} एकठांय करचें.

$$x-y=3$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 16 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

बायनोमियल प्रमेयाचो वापर करून \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} विस्तारावचें \left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}.

$$16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

4y^{2}-y+\frac{1}{16} चो विरोधी सोदूंक, दरेक सज्ञेचो विरोधी सोदचो.

$$16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16} न 16 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

256 मेळोवंक 16 आनी 16 गुणचें.

$$32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

255 मेळोवंक -1 आनी 256 ची बेरीज करची.

$$32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

256 मेळोवंक 255 आनी 1 ची बेरीज करची.

$$32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

2y+3 न 16 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)$$

वितरक गूणधर्माचो वापर करून 32y+48 क 3-2y न गुणचें आनी संज्ञां भशेन एकठावणी करची.

$$32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144$$

दोनूय वटांनी 64y^{2} जोडचे.

$$32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144$$

0 मेळोवंक -64y^{2} आनी 64y^{2} एकठांय करचें.

$$32x+16y+256=144$$

दोनूय कुशींतल्यान 256 वजा करचें.

$$32x+16y=144-256$$

-112 मेळोवंक 144 आनी 256 वजा करचे.

$$32x+16y=-112$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x-y=3,32x+16y=-112$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{16-\left(-32\right)}&-\frac{-1}{16-\left(-32\right)}\\-\frac{32}{16-\left(-32\right)}&\frac{1}{16-\left(-32\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{48}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 3+\frac{1}{48}\left(-112\right)\\-\frac{2}{3}\times 3+\frac{1}{48}\left(-112\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3}\\-\frac{13}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. 1-2x न x गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

1-y न y गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

y-y^{2} चो विरोधी सोदूंक, दरेक सज्ञेचो विरोधी सोदचो.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

विचारांत घेयात \left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right). नेम वापरून गुणाकार विभिन्न चवकोनांत रुपांतरण करूं येताः \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3$$

\left(\sqrt{2}x\right)^{2} विस्तारीत करचो.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3$$

\sqrt{2} चो वर्ग 2 आसा.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3$$

दोनूय कुशींतल्यान y^{2} वजा करचें.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3$$

0 मेळोवंक y^{2} आनी -y^{2} एकठांय करचें.

$$x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3$$

दोनूय वटांनी 2x^{2} जोडचे.

$$x-2x^{2}-y+2x^{2}=3$$

0 मेळोवंक -2x^{2} आनी 2x^{2} एकठांय करचें.

$$x-y=3$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 16 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

बायनोमियल प्रमेयाचो वापर करून \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} विस्तारावचें \left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}.

$$16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

4y^{2}-y+\frac{1}{16} चो विरोधी सोदूंक, दरेक सज्ञेचो विरोधी सोदचो.

$$16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16} न 16 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

256 मेळोवंक 16 आनी 16 गुणचें.

$$32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

255 मेळोवंक -1 आनी 256 ची बेरीज करची.

$$32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

256 मेळोवंक 255 आनी 1 ची बेरीज करची.

$$32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

2y+3 न 16 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)$$

वितरक गूणधर्माचो वापर करून 32y+48 क 3-2y न गुणचें आनी संज्ञां भशेन एकठावणी करची.

$$32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144$$

दोनूय वटांनी 64y^{2} जोडचे.

$$32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144$$

0 मेळोवंक -64y^{2} आनी 64y^{2} एकठांय करचें.

$$32x+16y+256=144$$

दोनूय कुशींतल्यान 256 वजा करचें.

$$32x+16y=144-256$$

-112 मेळोवंक 144 आनी 256 वजा करचे.

$$32x+16y=-112$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x-y=3,32x+16y=-112$$

x आनी 32x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 32 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$32x+32\left(-1\right)y=32\times 3,32x+16y=-112$$

सोंपें करचें.

$$32x-32y=96,32x+16y=-112$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 32x-32y=96 तल्यान 32x+16y=-112 वजा करचो.

$$32x-32x-32y-16y=96+112$$

-32x कडेन 32x ची बेरीज करची. अटी 32x आनी -32x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-32y-16y=96+112$$

-16y कडेन -32y ची बेरीज करची.

$$-48y=96+112$$

112 कडेन 96 ची बेरीज करची.

$$-48y=208$$

दोनुय कुशींक -48 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{13}{3}$$

32x+16y=-112 त y खातीर -\frac{13}{3} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$32x+16\left(-\frac{13}{3}\right)=-112$$

-\frac{13}{3}क 16 फावटी गुणचें.

$$32x-\frac{208}{3}=-112$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{208}{3} ची बेरीज करची.

$$32x=-\frac{128}{3}$$

दोनुय कुशींक 32 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{4}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}$$