सोडोवचें {l}{x+y=50}{5x+7y=300}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 50 } \\ { 5 x + 7 y = 300 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=25$$

$$y=25$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x+y=50,5x+7y=300$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x+y=50$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$x=-y+50$$

5x+7y=300 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -y+50 बदलपी घेवचो.

$$5\left(-y+50\right)+7y=300$$

-y+50क 5 फावटी गुणचें.

$$-5y+250+7y=300$$

7y कडेन -5y ची बेरीज करची.

$$2y+250=300$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 250 वजा करचें.

$$2y=50$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$y=25$$

x=-y+50 त y खातीर 25 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-25+50$$

-25 कडेन 50 ची बेरीज करची.

$$x=25$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=25,y=25$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x+y=50,5x+7y=300$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\300\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\5&7\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\300\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\300\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\300\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-5}&-\frac{1}{7-5}\\-\frac{5}{7-5}&\frac{1}{7-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\300\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\300\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 50-\frac{1}{2}\times 300\\-\frac{5}{2}\times 50+\frac{1}{2}\times 300\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\25\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=25,y=25$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x+y=50,5x+7y=300$$

x आनी 5x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$5x+5y=5\times 50,5x+7y=300$$

सोंपें करचें.

$$5x+5y=250,5x+7y=300$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 5x+5y=250 तल्यान 5x+7y=300 वजा करचो.

$$5x-5x+5y-7y=250-300$$

-5x कडेन 5x ची बेरीज करची. अटी 5x आनी -5x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$5y-7y=250-300$$

-7y कडेन 5y ची बेरीज करची.

$$-2y=250-300$$

-300 कडेन 250 ची बेरीज करची.

$$-2y=-50$$

दोनुय कुशींक -2 न भाग लावचो.

$$y=25$$

5x+7y=300 त y खातीर 25 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$5x+7\times 25=300$$

25क 7 फावटी गुणचें.

$$5x+175=300$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 175 वजा करचें.

$$5x=125$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=25$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=25,y=25$$