सोडोवचें {l}{x+y=30}{2x+25y=698}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 30 } \\ { 2 x + 25 y = 698 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{52}{23} = 2\frac{6}{23} \approx 2.260869565$$

$$y = \frac{638}{23} = 27\frac{17}{23} \approx 27.739130435$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x+y=30,2x+25y=698$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x+y=30$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$x=-y+30$$

2x+25y=698 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -y+30 बदलपी घेवचो.

$$2\left(-y+30\right)+25y=698$$

-y+30क 2 फावटी गुणचें.

$$-2y+60+25y=698$$

25y कडेन -2y ची बेरीज करची.

$$23y+60=698$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 60 वजा करचें.

$$23y=638$$

दोनुय कुशींक 23 न भाग लावचो.

$$y=\frac{638}{23}$$

x=-y+30 त y खातीर \frac{638}{23} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{638}{23}+30$$

-\frac{638}{23} कडेन 30 ची बेरीज करची.

$$x=\frac{52}{23}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{52}{23},y=\frac{638}{23}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x+y=30,2x+25y=698$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\698\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\698\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\698\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\698\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{25-2}&-\frac{1}{25-2}\\-\frac{2}{25-2}&\frac{1}{25-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\698\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{23}&-\frac{1}{23}\\-\frac{2}{23}&\frac{1}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\698\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{23}\times 30-\frac{1}{23}\times 698\\-\frac{2}{23}\times 30+\frac{1}{23}\times 698\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{52}{23}\\\frac{638}{23}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{52}{23},y=\frac{638}{23}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x+y=30,2x+25y=698$$

x आनी 2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$2x+2y=2\times 30,2x+25y=698$$

सोंपें करचें.

$$2x+2y=60,2x+25y=698$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 2x+2y=60 तल्यान 2x+25y=698 वजा करचो.

$$2x-2x+2y-25y=60-698$$

-2x कडेन 2x ची बेरीज करची. अटी 2x आनी -2x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$2y-25y=60-698$$

-25y कडेन 2y ची बेरीज करची.

$$-23y=60-698$$

-698 कडेन 60 ची बेरीज करची.

$$-23y=-638$$

दोनुय कुशींक -23 न भाग लावचो.

$$y=\frac{638}{23}$$

2x+25y=698 त y खातीर \frac{638}{23} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x+25\times \frac{638}{23}=698$$

\frac{638}{23}क 25 फावटी गुणचें.

$$2x+\frac{15950}{23}=698$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{15950}{23} वजा करचें.

$$2x=\frac{104}{23}$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{52}{23}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{52}{23},y=\frac{638}{23}$$