सोडोवचें {l}{x+y=220}{2/5x=3/8y-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 220 } \\ { \frac { 2 } { 5 } x = \frac { 3 } { 8 } y - 5 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=100$$

$$y=120$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान \frac{3}{8}y वजा करचें.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x+y=220$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$x=-y+220$$

\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -y+220 बदलपी घेवचो.

$$\frac{2}{5}\left(-y+220\right)-\frac{3}{8}y=-5$$

-y+220क \frac{2}{5} फावटी गुणचें.

$$-\frac{2}{5}y+88-\frac{3}{8}y=-5$$

-\frac{3y}{8} कडेन -\frac{2y}{5} ची बेरीज करची.

$$-\frac{31}{40}y+88=-5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 88 वजा करचें.

$$-\frac{31}{40}y=-93$$

-\frac{31}{40} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=120$$

x=-y+220 त y खातीर 120 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-120+220$$

-120 कडेन 220 ची बेरीज करची.

$$x=100$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=100,y=120$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान \frac{3}{8}y वजा करचें.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{3}{8}}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}&-\frac{1}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}\\-\frac{\frac{2}{5}}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}&\frac{1}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{31}&\frac{40}{31}\\\frac{16}{31}&-\frac{40}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{31}\times 220+\frac{40}{31}\left(-5\right)\\\frac{16}{31}\times 220-\frac{40}{31}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=100,y=120$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान \frac{3}{8}y वजा करचें.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

x आनी \frac{2x}{5} बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक \frac{2}{5} न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=\frac{2}{5}\times 220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

सोंपें करचें.

$$\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=88,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून \frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=88 तल्यान \frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5 वजा करचो.

$$\frac{2}{5}x-\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y+\frac{3}{8}y=88+5$$

-\frac{2x}{5} कडेन \frac{2x}{5} ची बेरीज करची. अटी \frac{2x}{5} आनी -\frac{2x}{5} रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$\frac{2}{5}y+\frac{3}{8}y=88+5$$

\frac{3y}{8} कडेन \frac{2y}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{31}{40}y=88+5$$

5 कडेन 88 ची बेरीज करची.

$$\frac{31}{40}y=93$$

\frac{31}{40} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=120$$

\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5 त y खातीर 120 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}\times 120=-5$$

120क -\frac{3}{8} फावटी गुणचें.

$$\frac{2}{5}x-45=-5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 45 ची बेरीज करची.

$$\frac{2}{5}x=40$$

\frac{2}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$x=100$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=100,y=120$$