सोडोवचें {l}{x+y=17}{2x-y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 17 } \\ { 2 x - y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{28}{3} = 9\frac{1}{3} \approx 9.333333333$$

$$y = \frac{23}{3} = 7\frac{2}{3} \approx 7.666666667$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x+y=17,2x-y=11$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x+y=17$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$x=-y+17$$

2x-y=11 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -y+17 बदलपी घेवचो.

$$2\left(-y+17\right)-y=11$$

-y+17क 2 फावटी गुणचें.

$$-2y+34-y=11$$

-y कडेन -2y ची बेरीज करची.

$$-3y+34=11$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 34 वजा करचें.

$$-3y=-23$$

दोनुय कुशींक -3 न भाग लावचो.

$$y=\frac{23}{3}$$

x=-y+17 त y खातीर \frac{23}{3} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{23}{3}+17$$

-\frac{23}{3} कडेन 17 ची बेरीज करची.

$$x=\frac{28}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{28}{3},y=\frac{23}{3}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x+y=17,2x-y=11$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\11\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{1}{-1-2}\\-\frac{2}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\11\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 17+\frac{1}{3}\times 11\\\frac{2}{3}\times 17-\frac{1}{3}\times 11\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{28}{3}\\\frac{23}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{28}{3},y=\frac{23}{3}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x+y=17,2x-y=11$$

x आनी 2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$2x+2y=2\times 17,2x-y=11$$

सोंपें करचें.

$$2x+2y=34,2x-y=11$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 2x+2y=34 तल्यान 2x-y=11 वजा करचो.

$$2x-2x+2y+y=34-11$$

-2x कडेन 2x ची बेरीज करची. अटी 2x आनी -2x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$2y+y=34-11$$

y कडेन 2y ची बेरीज करची.

$$3y=34-11$$

-11 कडेन 34 ची बेरीज करची.

$$3y=23$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$y=\frac{23}{3}$$

2x-y=11 त y खातीर \frac{23}{3} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x-\frac{23}{3}=11$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{23}{3} ची बेरीज करची.

$$2x=\frac{56}{3}$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{28}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{28}{3},y=\frac{23}{3}$$