सोडोवचें {l}{x+y=15}{250x+80y=2900}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 15 } \\ { 250 x + 80 y = 2900 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=10$$

$$y=5$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x+y=15,250x+80y=2900$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x+y=15$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$x=-y+15$$

250x+80y=2900 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -y+15 बदलपी घेवचो.

$$250\left(-y+15\right)+80y=2900$$

-y+15क 250 फावटी गुणचें.

$$-250y+3750+80y=2900$$

80y कडेन -250y ची बेरीज करची.

$$-170y+3750=2900$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3750 वजा करचें.

$$-170y=-850$$

दोनुय कुशींक -170 न भाग लावचो.

$$y=5$$

x=-y+15 त y खातीर 5 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-5+15$$

-5 कडेन 15 ची बेरीज करची.

$$x=10$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=10,y=5$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x+y=15,250x+80y=2900$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-250}&-\frac{1}{80-250}\\-\frac{250}{80-250}&\frac{1}{80-250}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{17}&\frac{1}{170}\\\frac{25}{17}&-\frac{1}{170}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{17}\times 15+\frac{1}{170}\times 2900\\\frac{25}{17}\times 15-\frac{1}{170}\times 2900\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=10,y=5$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x+y=15,250x+80y=2900$$

x आनी 250x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 250 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$250x+250y=250\times 15,250x+80y=2900$$

सोंपें करचें.

$$250x+250y=3750,250x+80y=2900$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 250x+250y=3750 तल्यान 250x+80y=2900 वजा करचो.

$$250x-250x+250y-80y=3750-2900$$

-250x कडेन 250x ची बेरीज करची. अटी 250x आनी -250x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$250y-80y=3750-2900$$

-80y कडेन 250y ची बेरीज करची.

$$170y=3750-2900$$

-2900 कडेन 3750 ची बेरीज करची.

$$170y=850$$

दोनुय कुशींक 170 न भाग लावचो.

$$y=5$$

250x+80y=2900 त y खातीर 5 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$250x+80\times 5=2900$$

5क 80 फावटी गुणचें.

$$250x+400=2900$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 400 वजा करचें.

$$250x=2500$$

दोनुय कुशींक 250 न भाग लावचो.

$$x=10$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=10,y=5$$