सोडोवचें {l}{x+y=140}{x/y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 140 } \\ { \frac { x } { y } = 7 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{245}{2} = 122\frac{1}{2} = 122.5$$

$$y = \frac{35}{2} = 17\frac{1}{2} = 17.5$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. विभागणी शुन्यची व्याख्या नाशिल्ल्यान अचल y हो 0 च्या समान आसूंक शकना. y वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$x=7y$$

दोनूय कुशींतल्यान 7y वजा करचें.

$$x-7y=0$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x+y=140,x-7y=0$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x+y=140$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$x=-y+140$$

x-7y=0 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -y+140 बदलपी घेवचो.

$$-y+140-7y=0$$

-7y कडेन -y ची बेरीज करची.

$$-8y+140=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 140 वजा करचें.

$$-8y=-140$$

दोनुय कुशींक -8 न भाग लावचो.

$$y=\frac{35}{2}$$

x=-y+140 त y खातीर \frac{35}{2} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{35}{2}+140$$

-\frac{35}{2} कडेन 140 ची बेरीज करची.

$$x=\frac{245}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{245}{2},y=\frac{35}{2}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. विभागणी शुन्यची व्याख्या नाशिल्ल्यान अचल y हो 0 च्या समान आसूंक शकना. y वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$x=7y$$

दोनूय कुशींतल्यान 7y वजा करचें.

$$x-7y=0$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x+y=140,x-7y=0$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-1}&-\frac{1}{-7-1}\\-\frac{1}{-7-1}&\frac{1}{-7-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{8}\times 140\\\frac{1}{8}\times 140\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{245}{2}\\\frac{35}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{245}{2},y=\frac{35}{2}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. विभागणी शुन्यची व्याख्या नाशिल्ल्यान अचल y हो 0 च्या समान आसूंक शकना. y वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक गुणाकार करचो.

$$x=7y$$

दोनूय कुशींतल्यान 7y वजा करचें.

$$x-7y=0$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x+y=140,x-7y=0$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून x+y=140 तल्यान x-7y=0 वजा करचो.

$$x-x+y+7y=140$$

-x कडेन x ची बेरीज करची. अटी x आनी -x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$y+7y=140$$

7y कडेन y ची बेरीज करची.

$$8y=140$$

दोनुय कुशींक 8 न भाग लावचो.

$$y=\frac{35}{2}$$

x-7y=0 त y खातीर \frac{35}{2} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x-7\times \frac{35}{2}=0$$

\frac{35}{2}क -7 फावटी गुणचें.

$$x-\frac{245}{2}=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{245}{2} ची बेरीज करची.

$$x=\frac{245}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{245}{2},y=\frac{35}{2}$$