सोडोवचें {l}{x+my=a}{x-ny=b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + m y = a } \\ { x - n y = b } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{bm+an}{m+n}\text{, }y=-\frac{b-a}{m+n}\text{, }&m\neq -n\\x=ny+b\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=b\text{ and }m=-n\\x=b\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=0\text{ and }n=0\text{ and }a=b\end{matrix}\right.$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x+my=a$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान my वजा करचें.

$$x=\left(-m\right)y+a$$

x+\left(-n\right)y=b ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर a-my बदलपी घेवचो.

$$\left(-m\right)y+a+\left(-n\right)y=b$$

-ny कडेन -my ची बेरीज करची.

$$\left(-m-n\right)y+a=b$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान a वजा करचें.

$$\left(-m-n\right)y=b-a$$

दोनुय कुशींक -m-n न भाग लावचो.

$$y=-\frac{b-a}{m+n}$$

x=\left(-m\right)y+a त y खातीर -\frac{b-a}{m+n} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\left(-m\right)\left(-\frac{b-a}{m+n}\right)+a$$

-\frac{b-a}{m+n}क -m फावटी गुणचें.

$$x=\frac{m\left(b-a\right)}{m+n}+a$$

\frac{m\left(b-a\right)}{m+n} कडेन a ची बेरीज करची.

$$x=\frac{bm+an}{m+n}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=-\frac{b-a}{m+n}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{n}{-n-m}&-\frac{m}{-n-m}\\-\frac{1}{-n-m}&\frac{1}{-n-m}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{n}{m+n}&\frac{m}{m+n}\\\frac{1}{m+n}&\frac{1}{-m-n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{n}{m+n}a+\frac{m}{m+n}b\\\frac{1}{m+n}a+\frac{1}{-m-n}b\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{bm+an}{m+n}\\\frac{a-b}{m+n}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=\frac{a-b}{m+n}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून x+my=a तल्यान x+\left(-n\right)y=b वजा करचो.

$$x-x+my+ny=a-b$$

-x कडेन x ची बेरीज करची. अटी x आनी -x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$my+ny=a-b$$

ny कडेन my ची बेरीज करची.

$$\left(m+n\right)y=a-b$$

दोनुय कुशींक m+n न भाग लावचो.

$$y=\frac{a-b}{m+n}$$

x+\left(-n\right)y=b त y खातीर \frac{a-b}{m+n} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x+\left(-n\right)\times \frac{a-b}{m+n}=b$$

\frac{a-b}{m+n}क -n फावटी गुणचें.

$$x-\frac{n\left(a-b\right)}{m+n}=b$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{n\left(a-b\right)}{m+n} ची बेरीज करची.

$$x=\frac{bm+an}{m+n}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=\frac{a-b}{m+n}$$