सोडोवचें {l}{x+4y=7}{2x-7y=-31}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 4 y = 7 } \\ { 2 x - 7 y = - 31 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-5$$

$$y=3$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x+4y=7,2x-7y=-31$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x+4y=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4y वजा करचें.

$$x=-4y+7$$

2x-7y=-31 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -4y+7 बदलपी घेवचो.

$$2\left(-4y+7\right)-7y=-31$$

-4y+7क 2 फावटी गुणचें.

$$-8y+14-7y=-31$$

-7y कडेन -8y ची बेरीज करची.

$$-15y+14=-31$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 14 वजा करचें.

$$-15y=-45$$

दोनुय कुशींक -15 न भाग लावचो.

$$y=3$$

x=-4y+7 त y खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-4\times 3+7$$

3क -4 फावटी गुणचें.

$$x=-12+7$$

-12 कडेन 7 ची बेरीज करची.

$$x=-5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-5,y=3$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x+4y=7,2x-7y=-31$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-4\times 2}&-\frac{4}{-7-4\times 2}\\-\frac{2}{-7-4\times 2}&\frac{1}{-7-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{15}&\frac{4}{15}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{15}\times 7+\frac{4}{15}\left(-31\right)\\\frac{2}{15}\times 7-\frac{1}{15}\left(-31\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-5,y=3$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x+4y=7,2x-7y=-31$$

x आनी 2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$2x+2\times 4y=2\times 7,2x-7y=-31$$

सोंपें करचें.

$$2x+8y=14,2x-7y=-31$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 2x+8y=14 तल्यान 2x-7y=-31 वजा करचो.

$$2x-2x+8y+7y=14+31$$

-2x कडेन 2x ची बेरीज करची. अटी 2x आनी -2x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$8y+7y=14+31$$

7y कडेन 8y ची बेरीज करची.

$$15y=14+31$$

31 कडेन 14 ची बेरीज करची.

$$15y=45$$

दोनुय कुशींक 15 न भाग लावचो.

$$y=3$$

2x-7y=-31 त y खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x-7\times 3=-31$$

3क -7 फावटी गुणचें.

$$2x-21=-31$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 21 ची बेरीज करची.

$$2x=-10$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=-5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-5,y=3$$