सोडोवचें {l}{x+4y=5}{-2x-y=-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 4 y = 5 } \\ { - 2 x - y = - 4 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} \approx 1.571428571$$

$$y=\frac{6}{7}\approx 0.857142857$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x+4y=5,-2x-y=-4$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x+4y=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4y वजा करचें.

$$x=-4y+5$$

-2x-y=-4 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -4y+5 बदलपी घेवचो.

$$-2\left(-4y+5\right)-y=-4$$

-4y+5क -2 फावटी गुणचें.

$$8y-10-y=-4$$

-y कडेन 8y ची बेरीज करची.

$$7y-10=-4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 10 ची बेरीज करची.

$$7y=6$$

दोनुय कुशींक 7 न भाग लावचो.

$$y=\frac{6}{7}$$

x=-4y+5 त y खातीर \frac{6}{7} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-4\times \frac{6}{7}+5$$

\frac{6}{7}क -4 फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{24}{7}+5$$

-\frac{24}{7} कडेन 5 ची बेरीज करची.

$$x=\frac{11}{7}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{11}{7},y=\frac{6}{7}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x+4y=5,-2x-y=-4$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-4\left(-2\right)}&-\frac{4}{-1-4\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-1-4\left(-2\right)}&\frac{1}{-1-4\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&-\frac{4}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 5-\frac{4}{7}\left(-4\right)\\\frac{2}{7}\times 5+\frac{1}{7}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{7}\\\frac{6}{7}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{11}{7},y=\frac{6}{7}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x+4y=5,-2x-y=-4$$

x आनी -2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$-2x-2\times 4y=-2\times 5,-2x-y=-4$$

सोंपें करचें.

$$-2x-8y=-10,-2x-y=-4$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -2x-8y=-10 तल्यान -2x-y=-4 वजा करचो.

$$-2x+2x-8y+y=-10+4$$

2x कडेन -2x ची बेरीज करची. अटी -2x आनी 2x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-8y+y=-10+4$$

y कडेन -8y ची बेरीज करची.

$$-7y=-10+4$$

4 कडेन -10 ची बेरीज करची.

$$-7y=-6$$

दोनुय कुशींक -7 न भाग लावचो.

$$y=\frac{6}{7}$$

-2x-y=-4 त y खातीर \frac{6}{7} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-2x-\frac{6}{7}=-4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{6}{7} ची बेरीज करची.

$$-2x=-\frac{22}{7}$$

दोनुय कुशींक -2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{11}{7}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{11}{7},y=\frac{6}{7}$$