सोडोवचें {l}{x+2y=7}{4x+3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 7 } \\ { 4 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-3$$

$$y=5$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x+2y=7,4x+3y=3$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x+2y=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$x=-2y+7$$

4x+3y=3 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -2y+7 बदलपी घेवचो.

$$4\left(-2y+7\right)+3y=3$$

-2y+7क 4 फावटी गुणचें.

$$-8y+28+3y=3$$

3y कडेन -8y ची बेरीज करची.

$$-5y+28=3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 28 वजा करचें.

$$-5y=-25$$

दोनुय कुशींक -5 न भाग लावचो.

$$y=5$$

x=-2y+7 त y खातीर 5 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-2\times 5+7$$

5क -2 फावटी गुणचें.

$$x=-10+7$$

-10 कडेन 7 ची बेरीज करची.

$$x=-3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-3,y=5$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x+2y=7,4x+3y=3$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\times 4}&-\frac{2}{3-2\times 4}\\-\frac{4}{3-2\times 4}&\frac{1}{3-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{4}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\times 7+\frac{2}{5}\times 3\\\frac{4}{5}\times 7-\frac{1}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-3,y=5$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x+2y=7,4x+3y=3$$

x आनी 4x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$4x+4\times 2y=4\times 7,4x+3y=3$$

सोंपें करचें.

$$4x+8y=28,4x+3y=3$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 4x+8y=28 तल्यान 4x+3y=3 वजा करचो.

$$4x-4x+8y-3y=28-3$$

-4x कडेन 4x ची बेरीज करची. अटी 4x आनी -4x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$8y-3y=28-3$$

-3y कडेन 8y ची बेरीज करची.

$$5y=28-3$$

-3 कडेन 28 ची बेरीज करची.

$$5y=25$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$y=5$$

4x+3y=3 त y खातीर 5 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$4x+3\times 5=3$$

5क 3 फावटी गुणचें.

$$4x+15=3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 15 वजा करचें.

$$4x=-12$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=-3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-3,y=5$$