सोडोवचें {l}{ty+2=x}{x^2+4y^2=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { t y + 2 = x } \\ { x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } = 4 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=2\text{, }y=0$$

$$x=\frac{2\left(4-t^{2}\right)}{t^{2}+4}\text{, }y=-\frac{4t}{t^{2}+4}$$

बदली आनी क्वॉड्रेटिक सिध्दांत वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान x वजा करचें.

$$ty+2-x=0$$

दोनूय कुशींतल्यान 2 वजा करचें. किदेंय शुन्यातल्यान वजा केल्यार अभाव दाखयता.

$$ty-x=-2$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$ty-x=-2,x^{2}+4y^{2}=4$$

बरोबर चिन्ना्च्या दोनूय कुशींनी y वगळावंन y खातीर ty-x=-2 सोडोवचें.

$$ty-x=-2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान -x वजा करचें.

$$ty=x-2$$

दोनुय कुशींक t न भाग लावचो.

$$y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}$$

x^{2}+4y^{2}=4 ह्या दुस-या समिकरणांत y खातीर \frac{1}{t}x-\frac{2}{t} बदलपी घेवचो.

$$x^{2}+4\left(\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} वर्गमूळ.

$$x^{2}+4\left(\left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+2\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}\right)=4$$

\left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+2\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}क 4 फावटी गुणचें.

$$x^{2}+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2} कडेन x^{2} ची बेरीज करची.

$$\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4 वजा करचें.

$$\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}-4=0$$

हें समिकरण प्रमाणित पद्दतीन आसा: ax^{2}+bx+c=0. क्वॉड्रेटिक सिध्दांत \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} त a खातीर 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}, b खातीर 4\times 2\times \frac{1}{t}\left(-\frac{2}{t}\right) आनी c खातीर \frac{16}{t^{2}}-4 बदली घेवचे.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\left(8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}\right)^{2}-4\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

4\times 2\times \frac{1}{t}\left(-\frac{2}{t}\right) वर्गमूळ.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}-4\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}क -4 फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}+\left(-4-\frac{16}{t^{2}}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

\frac{16}{t^{2}}-4क -4-\frac{16}{t^{2}} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}+16-\frac{256}{t^{4}}}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

-\frac{256}{t^{4}}+16 कडेन \frac{256}{t^{4}} ची बेरीज करची.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{16}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

16 चें वर्गमूळ घेवचें.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±4}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}क 2 फावटी गुणचें.

$$x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

जेन्ना ± अदीक आस्ता तेन्ना समिकरण x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}} सोडोवचें. 4 कडेन \frac{16}{t^{2}} ची बेरीज करची.

$$x=\frac{4+\frac{16}{t^{2}}}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

2+\frac{8}{t^{2}} न4+\frac{16}{t^{2}} क भाग लावचो.

$$x=2$$

जेन्ना ± वजा आस्ता तेन्ना समिकरण x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}} सोडोवचें. \frac{16}{t^{2}} तल्यान 4 वजा करची.

$$x=\frac{-4+\frac{16}{t^{2}}}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

2+\frac{8}{t^{2}} न\frac{16}{t^{2}}-4 क भाग लावचो.

$$x=-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}$$

x चीं दोन सोडोवणी आसात: 2 आनी -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}}. समिकरणांत y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} त x खातीर 2 बदली घेवचो आनी दोनूय समिकरणांक सोदपी y क अनुरूप सोडोवण सोदची.

$$y=\frac{1}{t}\times 2-\frac{2}{t}$$

2क \frac{1}{t} फावटी गुणचें.

$$y=2\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t}$$

आतां y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} समिकरणांत x खातीर -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}} बदली घेवचो आनी दोनूय समिकरणांक सोदपी y क अनुरूप सोडोवण सोदची.

$$y=\frac{1}{t}\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)-\frac{2}{t}$$

-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}}क \frac{1}{t} फावटी गुणचें.

$$y=\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=2\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t},x=2\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t},x=-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}$$

x, y खातीर सोडोवचें (जटील सोल्यूशन)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2\text{, }y=0\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{2\left(4-t^{2}\right)}{t^{2}+4}\text{, }y=-\frac{4t}{t^{2}+4}\text{, }&t\neq -2i\text{ and }t\neq 2i\end{matrix}\right.$$