सोडोवचें {l}{ax-by+8=0}{bx+ay+1=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a x - b y + 8 = 0 } \\ { b x + a y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$b\neq 0\text{ or }a\neq 0$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 8 वजा करचें.

$$ax+\left(-b\right)y=-8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान by ची बेरीज करची.

$$ax=by-8$$

दोनुय कुशींक a न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{a}\left(by-8\right)$$

by-8क \frac{1}{a} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}$$

bx+ay+1=0 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{by-8}{a} बदलपी घेवचो.

$$b\left(\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}\right)+ay+1=0$$

\frac{by-8}{a}क b फावटी गुणचें.

$$\frac{b^{2}}{a}y-\frac{8b}{a}+ay+1=0$$

ay कडेन \frac{b^{2}y}{a} ची बेरीज करची.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y-\frac{8b}{a}+1=0$$

1 कडेन -\frac{8b}{a} ची बेरीज करची.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y+\frac{a-8b}{a}=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{a-8b}{a} वजा करचें.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y=\frac{8b}{a}-1$$

दोनुय कुशींक a+\frac{b^{2}}{a} न भाग लावचो.

$$y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a} त y खातीर \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{8}{a}$$

\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}क \frac{b}{a} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{8}{a}$$

\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)} कडेन -\frac{8}{a} ची बेरीज करची.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}&-\frac{-b}{aa-\left(-b\right)b}\\-\frac{b}{aa-\left(-b\right)b}&\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-8\right)+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-8\right)+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}\\\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

ax आनी bx बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक b न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक a न गुणचें.

$$bax+b\left(-b\right)y+b\times 8=0,abx+aay+a=0$$

सोंपें करचें.

$$abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0,abx+a^{2}y+a=0$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0 तल्यान abx+a^{2}y+a=0 वजा करचो.

$$abx+\left(-ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

-bax कडेन bax ची बेरीज करची. अटी bax आनी -bax रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

-a^{2}y कडेन -b^{2}y ची बेरीज करची.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y+8b-a=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 8b-a वजा करचें.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y=a-8b$$

दोनुय कुशींक -b^{2}-a^{2} न भाग लावचो.

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

bx+ay+1=0 त y खातीर -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$bx+a\left(-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}\right)+1=0$$

-\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}}क a फावटी गुणचें.

$$bx-\frac{a\left(a-8b\right)}{a^{2}+b^{2}}+1=0$$

1 कडेन -\frac{a\left(-8b+a\right)}{b^{2}+a^{2}} ची बेरीज करची.

$$bx+\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{b\left(8a+b\right)}{b^{2}+a^{2}} वजा करचें.

$$bx=-\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

दोनुय कुशींक b न भाग लावचो.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$