सोडोवचें {l}{ax+by=e}{cx+dy=f}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a x + b y = e } \\ { c x + d y = f } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें (जटील सोल्यूशन)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{bf-ed}{ad-bc}\text{, }y=-\frac{ec-af}{ad-bc}\text{, }&\left(d\neq 0\text{ or }b\neq 0\right)\text{ and }\left(d\neq 0\text{ or }c\neq 0\right)\text{ and }\left(d=0\text{ or }a\neq \frac{bc}{d}\text{ or }b=0\text{ or }c=0\right)\text{ and }a\neq 0\\x=-\frac{by-e}{a}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a\neq 0\text{ and }c=\frac{af}{e}\text{ and }d=\frac{bf}{e}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=\frac{f}{d}\text{, }&b=\frac{ed}{f}\text{ and }f\neq 0\text{ and }d\neq 0\text{ and }a=0\text{ and }c=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=\frac{e}{b}\text{, }&c=0\text{ and }a=0\text{ and }b\neq 0\text{ and }f=0\text{ and }d=0\\x=-\frac{ed-bf}{bc}\text{, }y=\frac{e}{b}\text{, }&a=0\text{ and }c\neq 0\text{ and }b\neq 0\end{matrix}\right.$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$ax+by=e,cx+dy=f$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$ax+by=e$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान by वजा करचें.

$$ax=\left(-b\right)y+e$$

दोनुय कुशींक a न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+e\right)$$

-by+eक \frac{1}{a} फावटी गुणचें.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a}$$

cx+dy=f ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-by+e}{a} बदलपी घेवचो.

$$c\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a}\right)+dy=f$$

\frac{-by+e}{a}क c फावटी गुणचें.

$$\left(-\frac{bc}{a}\right)y+\frac{ec}{a}+dy=f$$

dy कडेन -\frac{cby}{a} ची बेरीज करची.

$$\left(-\frac{bc}{a}+d\right)y+\frac{ec}{a}=f$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{ce}{a} वजा करचें.

$$\left(-\frac{bc}{a}+d\right)y=f-\frac{ec}{a}$$

दोनुय कुशींक d-\frac{cb}{a} न भाग लावचो.

$$y=\frac{af-ec}{ad-bc}$$

x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a} त y खातीर \frac{fa-ce}{da-cb} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{af-ec}{ad-bc}+\frac{e}{a}$$

\frac{fa-ce}{da-cb}क -\frac{b}{a} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{b\left(af-ec\right)}{a\left(ad-bc\right)}+\frac{e}{a}$$

-\frac{b\left(fa-ce\right)}{a\left(da-cb\right)} कडेन \frac{e}{a} ची बेरीज करची.

$$x=\frac{ed-bf}{ad-bc}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{ed-bf}{ad-bc},y=\frac{af-ec}{ad-bc}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$ax+by=e,cx+dy=f$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&-\frac{b}{ad-bc}\\-\frac{c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}e+\left(-\frac{b}{ad-bc}\right)f\\\left(-\frac{c}{ad-bc}\right)e+\frac{a}{ad-bc}f\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{ed-bf}{ad-bc}\\\frac{af-ec}{ad-bc}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{ed-bf}{ad-bc},y=\frac{af-ec}{ad-bc}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$ax+by=e,cx+dy=f$$

ax आनी cx बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक c न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक a न गुणचें.

$$cax+cby=ce,acx+ady=af$$

सोंपें करचें.

$$acx+bcy=ec,acx+ady=af$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून acx+bcy=ec तल्यान acx+ady=af वजा करचो.

$$acx+\left(-ac\right)x+bcy+\left(-ad\right)y=ec-af$$

-cax कडेन cax ची बेरीज करची. अटी cax आनी -cax रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$bcy+\left(-ad\right)y=ec-af$$

-ady कडेन cby ची बेरीज करची.

$$\left(bc-ad\right)y=ec-af$$

दोनुय कुशींक cb-ad न भाग लावचो.

$$y=\frac{ec-af}{bc-ad}$$

cx+dy=f त y खातीर \frac{ce-af}{cb-ad} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$cx+d\times \frac{ec-af}{bc-ad}=f$$

\frac{ce-af}{cb-ad}क d फावटी गुणचें.

$$cx+\frac{d\left(ec-af\right)}{bc-ad}=f$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{d\left(ce-af\right)}{cb-ad} वजा करचें.

$$cx=\frac{c\left(bf-ed\right)}{bc-ad}$$

दोनुय कुशींक c न भाग लावचो.

$$x=\frac{bf-ed}{bc-ad}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{bf-ed}{bc-ad},y=\frac{ec-af}{bc-ad}$$