सोडोवचें {l}{a-2b=7}{b+2a=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a - 2 b = 7 } \\ { b + 2 a = 5 } \end{array} \right.$$

a, b खातीर सोडोवचें

$$a = \frac{17}{5} = 3\frac{2}{5} = 3.4$$

$$b = -\frac{9}{5} = -1\frac{4}{5} = -1.8$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$a-2b=7,2a+b=5$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक a वेगळावन a खातीर तें सोडोवचें.

$$a-2b=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2b ची बेरीज करची.

$$a=2b+7$$

2a+b=5 ह्या दुस-या समिकरणांत a खातीर 2b+7 बदलपी घेवचो.

$$2\left(2b+7\right)+b=5$$

2b+7क 2 फावटी गुणचें.

$$4b+14+b=5$$

b कडेन 4b ची बेरीज करची.

$$5b+14=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 14 वजा करचें.

$$5b=-9$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$b=-\frac{9}{5}$$

a=2b+7 त b खातीर -\frac{9}{5} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी a खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$a=2\left(-\frac{9}{5}\right)+7$$

-\frac{9}{5}क 2 फावटी गुणचें.

$$a=-\frac{18}{5}+7$$

-\frac{18}{5} कडेन 7 ची बेरीज करची.

$$a=\frac{17}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$a=\frac{17}{5},b=-\frac{9}{5}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$a-2b=7,2a+b=5$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7+\frac{2}{5}\times 5\\-\frac{2}{5}\times 7+\frac{1}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{5}\\-\frac{9}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां a आनी b काडचीं.

$$a=\frac{17}{5},b=-\frac{9}{5}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$a-2b=7,2a+b=5$$

a आनी 2a बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$2a+2\left(-2\right)b=2\times 7,2a+b=5$$

सोंपें करचें.

$$2a-4b=14,2a+b=5$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 2a-4b=14 तल्यान 2a+b=5 वजा करचो.

$$2a-2a-4b-b=14-5$$

-2a कडेन 2a ची बेरीज करची. अटी 2a आनी -2a रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-4b-b=14-5$$

-b कडेन -4b ची बेरीज करची.

$$-5b=14-5$$

-5 कडेन 14 ची बेरीज करची.

$$-5b=9$$

दोनुय कुशींक -5 न भाग लावचो.

$$b=-\frac{9}{5}$$

2a+b=5 त b खातीर -\frac{9}{5} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी a खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2a-\frac{9}{5}=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{9}{5} ची बेरीज करची.

$$2a=\frac{34}{5}$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$a=\frac{17}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$a=\frac{17}{5},b=-\frac{9}{5}$$