सोडोवचें {l}{9x-4y=8}{6x-2y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 x - 4 y = 8 } \\ { 6 x - 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$y = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$9x-4y=8,6x-2y=3$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$9x-4y=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4y ची बेरीज करची.

$$9x=4y+8$$

दोनुय कुशींक 9 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{9}\left(4y+8\right)$$

8+4yक \frac{1}{9} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{4}{9}y+\frac{8}{9}$$

6x-2y=3 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{8+4y}{9} बदलपी घेवचो.

$$6\left(\frac{4}{9}y+\frac{8}{9}\right)-2y=3$$

\frac{8+4y}{9}क 6 फावटी गुणचें.

$$\frac{8}{3}y+\frac{16}{3}-2y=3$$

-2y कडेन \frac{8y}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{2}{3}y+\frac{16}{3}=3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{16}{3} वजा करचें.

$$\frac{2}{3}y=-\frac{7}{3}$$

\frac{2}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-\frac{7}{2}$$

x=\frac{4}{9}y+\frac{8}{9} त y खातीर -\frac{7}{2} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{4}{9}\left(-\frac{7}{2}\right)+\frac{8}{9}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{7}{2} क \frac{4}{9} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{-14+8}{9}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{14}{9} क \frac{8}{9} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{2}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{7}{2}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$9x-4y=8,6x-2y=3$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}&-\frac{-4}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}\\-\frac{6}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}&\frac{9}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-1&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 8+\frac{2}{3}\times 3\\-8+\frac{3}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{7}{2}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$9x-4y=8,6x-2y=3$$

9x आनी 6x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 6 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 9 न गुणचें.

$$6\times 9x+6\left(-4\right)y=6\times 8,9\times 6x+9\left(-2\right)y=9\times 3$$

सोंपें करचें.

$$54x-24y=48,54x-18y=27$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 54x-24y=48 तल्यान 54x-18y=27 वजा करचो.

$$54x-54x-24y+18y=48-27$$

-54x कडेन 54x ची बेरीज करची. अटी 54x आनी -54x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-24y+18y=48-27$$

18y कडेन -24y ची बेरीज करची.

$$-6y=48-27$$

-27 कडेन 48 ची बेरीज करची.

$$-6y=21$$

दोनुय कुशींक -6 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{7}{2}$$

6x-2y=3 त y खातीर -\frac{7}{2} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$6x-2\left(-\frac{7}{2}\right)=3$$

-\frac{7}{2}क -2 फावटी गुणचें.

$$6x+7=3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 7 वजा करचें.

$$6x=-4$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{2}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{7}{2}$$