सोडोवचें {l}{9x+2y=62}{4x+4y=36}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 x + 2 y = 62 } \\ { 4 x + 4 y = 36 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{44}{7} = 6\frac{2}{7} \approx 6.285714286$$

$$y = \frac{19}{7} = 2\frac{5}{7} \approx 2.714285714$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$9x+2y=62,4x+4y=36$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$9x+2y=62$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$9x=-2y+62$$

दोनुय कुशींक 9 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{9}\left(-2y+62\right)$$

-2y+62क \frac{1}{9} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}$$

4x+4y=36 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-2y+62}{9} बदलपी घेवचो.

$$4\left(-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}\right)+4y=36$$

\frac{-2y+62}{9}क 4 फावटी गुणचें.

$$-\frac{8}{9}y+\frac{248}{9}+4y=36$$

4y कडेन -\frac{8y}{9} ची बेरीज करची.

$$\frac{28}{9}y+\frac{248}{9}=36$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{248}{9} वजा करचें.

$$\frac{28}{9}y=\frac{76}{9}$$

\frac{28}{9} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{19}{7}$$

x=-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9} त y खातीर \frac{19}{7} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{2}{9}\times \frac{19}{7}+\frac{62}{9}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{19}{7} क -\frac{2}{9} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{38}{63}+\frac{62}{9}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{38}{63} क \frac{62}{9} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{44}{7}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{44}{7},y=\frac{19}{7}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$9x+2y=62,4x+4y=36$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-2\times 4}&-\frac{2}{9\times 4-2\times 4}\\-\frac{4}{9\times 4-2\times 4}&\frac{9}{9\times 4-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{7}&\frac{9}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 62-\frac{1}{14}\times 36\\-\frac{1}{7}\times 62+\frac{9}{28}\times 36\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{44}{7}\\\frac{19}{7}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{44}{7},y=\frac{19}{7}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$9x+2y=62,4x+4y=36$$

9x आनी 4x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 9 न गुणचें.

$$4\times 9x+4\times 2y=4\times 62,9\times 4x+9\times 4y=9\times 36$$

सोंपें करचें.

$$36x+8y=248,36x+36y=324$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 36x+8y=248 तल्यान 36x+36y=324 वजा करचो.

$$36x-36x+8y-36y=248-324$$

-36x कडेन 36x ची बेरीज करची. अटी 36x आनी -36x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$8y-36y=248-324$$

-36y कडेन 8y ची बेरीज करची.

$$-28y=248-324$$

-324 कडेन 248 ची बेरीज करची.

$$-28y=-76$$

दोनुय कुशींक -28 न भाग लावचो.

$$y=\frac{19}{7}$$

4x+4y=36 त y खातीर \frac{19}{7} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$4x+4\times \frac{19}{7}=36$$

\frac{19}{7}क 4 फावटी गुणचें.

$$4x+\frac{76}{7}=36$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{76}{7} वजा करचें.

$$4x=\frac{176}{7}$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{44}{7}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{44}{7},y=\frac{19}{7}$$