सोडोवचें {l}{9m-13n=22}{2m+3n=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 m - 13 n = 22 } \\ { 2 m + 3 n = - 1 } \end{array} \right.$$

m, n खातीर सोडोवचें

$$m=1$$

$$n=-1$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक m वेगळावन m खातीर तें सोडोवचें.

$$9m-13n=22$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 13n ची बेरीज करची.

$$9m=13n+22$$

दोनुय कुशींक 9 न भाग लावचो.

$$m=\frac{1}{9}\left(13n+22\right)$$

13n+22क \frac{1}{9} फावटी गुणचें.

$$m=\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}$$

2m+3n=-1 ह्या दुस-या समिकरणांत m खातीर \frac{13n+22}{9} बदलपी घेवचो.

$$2\left(\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}\right)+3n=-1$$

\frac{13n+22}{9}क 2 फावटी गुणचें.

$$\frac{26}{9}n+\frac{44}{9}+3n=-1$$

3n कडेन \frac{26n}{9} ची बेरीज करची.

$$\frac{53}{9}n+\frac{44}{9}=-1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{44}{9} वजा करचें.

$$\frac{53}{9}n=-\frac{53}{9}$$

\frac{53}{9} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$n=-1$$

m=\frac{13}{9}n+\frac{22}{9} त n खातीर -1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी m खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$m=\frac{13}{9}\left(-1\right)+\frac{22}{9}$$

-1क \frac{13}{9} फावटी गुणचें.

$$m=\frac{-13+22}{9}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{13}{9} क \frac{22}{9} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$m=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$m=1,n=-1$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}&-\frac{-13}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}\\-\frac{2}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}&\frac{9}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}&\frac{13}{53}\\-\frac{2}{53}&\frac{9}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}\times 22+\frac{13}{53}\left(-1\right)\\-\frac{2}{53}\times 22+\frac{9}{53}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां m आनी n काडचीं.

$$m=1,n=-1$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

9m आनी 2m बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 9 न गुणचें.

$$2\times 9m+2\left(-13\right)n=2\times 22,9\times 2m+9\times 3n=9\left(-1\right)$$

सोंपें करचें.

$$18m-26n=44,18m+27n=-9$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 18m-26n=44 तल्यान 18m+27n=-9 वजा करचो.

$$18m-18m-26n-27n=44+9$$

-18m कडेन 18m ची बेरीज करची. अटी 18m आनी -18m रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-26n-27n=44+9$$

-27n कडेन -26n ची बेरीज करची.

$$-53n=44+9$$

9 कडेन 44 ची बेरीज करची.

$$-53n=53$$

दोनुय कुशींक -53 न भाग लावचो.

$$n=-1$$

2m+3n=-1 त n खातीर -1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी m खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2m+3\left(-1\right)=-1$$

-1क 3 फावटी गुणचें.

$$2m-3=-1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3 ची बेरीज करची.

$$2m=2$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$m=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$m=1,n=-1$$