सोडोवचें {l}{8x+2y=-1}{3x+4y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 2 y = - 1 } \\ { 3 x + 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-\frac{1}{13}\approx -0.076923077$$

$$y=-\frac{5}{26}\approx -0.192307692$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$8x+2y=-1,3x+4y=-1$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$8x+2y=-1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$8x=-2y-1$$

दोनुय कुशींक 8 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y-1\right)$$

-2y-1क \frac{1}{8} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{4}y-\frac{1}{8}$$

3x+4y=-1 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{y}{4}-\frac{1}{8} बदलपी घेवचो.

$$3\left(-\frac{1}{4}y-\frac{1}{8}\right)+4y=-1$$

-\frac{y}{4}-\frac{1}{8}क 3 फावटी गुणचें.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{3}{8}+4y=-1$$

4y कडेन -\frac{3y}{4} ची बेरीज करची.

$$\frac{13}{4}y-\frac{3}{8}=-1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{3}{8} ची बेरीज करची.

$$\frac{13}{4}y=-\frac{5}{8}$$

\frac{13}{4} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-\frac{5}{26}$$

x=-\frac{1}{4}y-\frac{1}{8} त y खातीर -\frac{5}{26} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-\frac{5}{26}\right)-\frac{1}{8}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{5}{26} क -\frac{1}{4} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{5}{104}-\frac{1}{8}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{5}{104} क -\frac{1}{8} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{1}{13}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{1}{13},y=-\frac{5}{26}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$8x+2y=-1,3x+4y=-1$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&2\\3&4\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{8\times 4-2\times 3}&-\frac{2}{8\times 4-2\times 3}\\-\frac{3}{8\times 4-2\times 3}&\frac{8}{8\times 4-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{1}{13}\\-\frac{3}{26}&\frac{4}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\left(-1\right)-\frac{1}{13}\left(-1\right)\\-\frac{3}{26}\left(-1\right)+\frac{4}{13}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\\-\frac{5}{26}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-\frac{1}{13},y=-\frac{5}{26}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$8x+2y=-1,3x+4y=-1$$

8x आनी 3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 8 न गुणचें.

$$3\times 8x+3\times 2y=3\left(-1\right),8\times 3x+8\times 4y=8\left(-1\right)$$

सोंपें करचें.

$$24x+6y=-3,24x+32y=-8$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 24x+6y=-3 तल्यान 24x+32y=-8 वजा करचो.

$$24x-24x+6y-32y=-3+8$$

-24x कडेन 24x ची बेरीज करची. अटी 24x आनी -24x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$6y-32y=-3+8$$

-32y कडेन 6y ची बेरीज करची.

$$-26y=-3+8$$

8 कडेन -3 ची बेरीज करची.

$$-26y=5$$

दोनुय कुशींक -26 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{5}{26}$$

3x+4y=-1 त y खातीर -\frac{5}{26} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x+4\left(-\frac{5}{26}\right)=-1$$

-\frac{5}{26}क 4 फावटी गुणचें.

$$3x-\frac{10}{13}=-1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{10}{13} ची बेरीज करची.

$$3x=-\frac{3}{13}$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{13}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{1}{13},y=-\frac{5}{26}$$