सोडोवचें {l}{7x-y=-6}{4x+3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x - y = - 6 } \\ { 4 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-\frac{3}{5}=-0.6$$

$$y = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$7x-y=-6,4x+3y=3$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$7x-y=-6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y ची बेरीज करची.

$$7x=y-6$$

दोनुय कुशींक 7 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{7}\left(y-6\right)$$

y-6क \frac{1}{7} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{1}{7}y-\frac{6}{7}$$

4x+3y=3 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-6+y}{7} बदलपी घेवचो.

$$4\left(\frac{1}{7}y-\frac{6}{7}\right)+3y=3$$

\frac{-6+y}{7}क 4 फावटी गुणचें.

$$\frac{4}{7}y-\frac{24}{7}+3y=3$$

3y कडेन \frac{4y}{7} ची बेरीज करची.

$$\frac{25}{7}y-\frac{24}{7}=3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{24}{7} ची बेरीज करची.

$$\frac{25}{7}y=\frac{45}{7}$$

\frac{25}{7} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{9}{5}$$

x=\frac{1}{7}y-\frac{6}{7} त y खातीर \frac{9}{5} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{1}{7}\times \frac{9}{5}-\frac{6}{7}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{9}{5} क \frac{1}{7} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{9}{35}-\frac{6}{7}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{9}{35} क -\frac{6}{7} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{3}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{3}{5},y=\frac{9}{5}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$7x-y=-6,4x+3y=3$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}7&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&-1\\4&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7\times 3-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{7\times 3-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{7\times 3-\left(-4\right)}&\frac{7}{7\times 3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}&\frac{1}{25}\\-\frac{4}{25}&\frac{7}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\left(-6\right)+\frac{1}{25}\times 3\\-\frac{4}{25}\left(-6\right)+\frac{7}{25}\times 3\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\\\frac{9}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-\frac{3}{5},y=\frac{9}{5}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$7x-y=-6,4x+3y=3$$

7x आनी 4x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 7 न गुणचें.

$$4\times 7x+4\left(-1\right)y=4\left(-6\right),7\times 4x+7\times 3y=7\times 3$$

सोंपें करचें.

$$28x-4y=-24,28x+21y=21$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 28x-4y=-24 तल्यान 28x+21y=21 वजा करचो.

$$28x-28x-4y-21y=-24-21$$

-28x कडेन 28x ची बेरीज करची. अटी 28x आनी -28x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-4y-21y=-24-21$$

-21y कडेन -4y ची बेरीज करची.

$$-25y=-24-21$$

-21 कडेन -24 ची बेरीज करची.

$$-25y=-45$$

दोनुय कुशींक -25 न भाग लावचो.

$$y=\frac{9}{5}$$

4x+3y=3 त y खातीर \frac{9}{5} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$4x+3\times \frac{9}{5}=3$$

\frac{9}{5}क 3 फावटी गुणचें.

$$4x+\frac{27}{5}=3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{27}{5} वजा करचें.

$$4x=-\frac{12}{5}$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{3}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{3}{5},y=\frac{9}{5}$$