सोडोवचें {l}{7x+5y=60}{6x+4y=62}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 5 y = 60 } \\ { 6 x + 4 y = 62 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=35$$

$$y=-37$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$7x+5y=60,6x+4y=62$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$7x+5y=60$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5y वजा करचें.

$$7x=-5y+60$$

दोनुय कुशींक 7 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y+60\right)$$

-5y+60क \frac{1}{7} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{5}{7}y+\frac{60}{7}$$

6x+4y=62 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-5y+60}{7} बदलपी घेवचो.

$$6\left(-\frac{5}{7}y+\frac{60}{7}\right)+4y=62$$

\frac{-5y+60}{7}क 6 फावटी गुणचें.

$$-\frac{30}{7}y+\frac{360}{7}+4y=62$$

4y कडेन -\frac{30y}{7} ची बेरीज करची.

$$-\frac{2}{7}y+\frac{360}{7}=62$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{360}{7} वजा करचें.

$$-\frac{2}{7}y=\frac{74}{7}$$

-\frac{2}{7} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-37$$

x=-\frac{5}{7}y+\frac{60}{7} त y खातीर -37 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{5}{7}\left(-37\right)+\frac{60}{7}$$

-37क -\frac{5}{7} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{185+60}{7}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{185}{7} क \frac{60}{7} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=35$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=35,y=-37$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$7x+5y=60,6x+4y=62$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}7&5\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\62\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&5\\6&4\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\62\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\62\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\62\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7\times 4-5\times 6}&-\frac{5}{7\times 4-5\times 6}\\-\frac{6}{7\times 4-5\times 6}&\frac{7}{7\times 4-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\62\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&\frac{5}{2}\\3&-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\62\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 60+\frac{5}{2}\times 62\\3\times 60-\frac{7}{2}\times 62\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\-37\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=35,y=-37$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$7x+5y=60,6x+4y=62$$

7x आनी 6x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 6 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 7 न गुणचें.

$$6\times 7x+6\times 5y=6\times 60,7\times 6x+7\times 4y=7\times 62$$

सोंपें करचें.

$$42x+30y=360,42x+28y=434$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 42x+30y=360 तल्यान 42x+28y=434 वजा करचो.

$$42x-42x+30y-28y=360-434$$

-42x कडेन 42x ची बेरीज करची. अटी 42x आनी -42x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$30y-28y=360-434$$

-28y कडेन 30y ची बेरीज करची.

$$2y=360-434$$

-434 कडेन 360 ची बेरीज करची.

$$2y=-74$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$y=-37$$

6x+4y=62 त y खातीर -37 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$6x+4\left(-37\right)=62$$

-37क 4 फावटी गुणचें.

$$6x-148=62$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 148 ची बेरीज करची.

$$6x=210$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$x=35$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=35,y=-37$$