सोडोवचें {l}{7x+3y=43}{4x-3y=67}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 3 y = 43 } \\ { 4 x - 3 y = 67 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=10$$

$$y=-9$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$7x+3y=43,4x-3y=67$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$7x+3y=43$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$7x=-3y+43$$

दोनुय कुशींक 7 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{7}\left(-3y+43\right)$$

-3y+43क \frac{1}{7} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3}{7}y+\frac{43}{7}$$

4x-3y=67 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-3y+43}{7} बदलपी घेवचो.

$$4\left(-\frac{3}{7}y+\frac{43}{7}\right)-3y=67$$

\frac{-3y+43}{7}क 4 फावटी गुणचें.

$$-\frac{12}{7}y+\frac{172}{7}-3y=67$$

-3y कडेन -\frac{12y}{7} ची बेरीज करची.

$$-\frac{33}{7}y+\frac{172}{7}=67$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{172}{7} वजा करचें.

$$-\frac{33}{7}y=\frac{297}{7}$$

-\frac{33}{7} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-9$$

x=-\frac{3}{7}y+\frac{43}{7} त y खातीर -9 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{3}{7}\left(-9\right)+\frac{43}{7}$$

-9क -\frac{3}{7} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{27+43}{7}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{27}{7} क \frac{43}{7} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=10$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=10,y=-9$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$7x+3y=43,4x-3y=67$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7\left(-3\right)-3\times 4}&-\frac{3}{7\left(-3\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{7\left(-3\right)-3\times 4}&\frac{7}{7\left(-3\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{4}{33}&-\frac{7}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 43+\frac{1}{11}\times 67\\\frac{4}{33}\times 43-\frac{7}{33}\times 67\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=10,y=-9$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$7x+3y=43,4x-3y=67$$

7x आनी 4x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 7 न गुणचें.

$$4\times 7x+4\times 3y=4\times 43,7\times 4x+7\left(-3\right)y=7\times 67$$

सोंपें करचें.

$$28x+12y=172,28x-21y=469$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 28x+12y=172 तल्यान 28x-21y=469 वजा करचो.

$$28x-28x+12y+21y=172-469$$

-28x कडेन 28x ची बेरीज करची. अटी 28x आनी -28x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$12y+21y=172-469$$

21y कडेन 12y ची बेरीज करची.

$$33y=172-469$$

-469 कडेन 172 ची बेरीज करची.

$$33y=-297$$

दोनुय कुशींक 33 न भाग लावचो.

$$y=-9$$

4x-3y=67 त y खातीर -9 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$4x-3\left(-9\right)=67$$

-9क -3 फावटी गुणचें.

$$4x+27=67$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 27 वजा करचें.

$$4x=40$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=10$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=10,y=-9$$