सोडोवचें {l}{7a-10b=-64}{5b+3a=19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 a - 10 b = - 64 } \\ { 5 b + 3 a = 19 } \end{array} \right.$$

a, b खातीर सोडोवचें

$$a=-2$$

$$b=5$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक a वेगळावन a खातीर तें सोडोवचें.

$$7a-10b=-64$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 10b ची बेरीज करची.

$$7a=10b-64$$

दोनुय कुशींक 7 न भाग लावचो.

$$a=\frac{1}{7}\left(10b-64\right)$$

10b-64क \frac{1}{7} फावटी गुणचें.

$$a=\frac{10}{7}b-\frac{64}{7}$$

3a+5b=19 ह्या दुस-या समिकरणांत a खातीर \frac{10b-64}{7} बदलपी घेवचो.

$$3\left(\frac{10}{7}b-\frac{64}{7}\right)+5b=19$$

\frac{10b-64}{7}क 3 फावटी गुणचें.

$$\frac{30}{7}b-\frac{192}{7}+5b=19$$

5b कडेन \frac{30b}{7} ची बेरीज करची.

$$\frac{65}{7}b-\frac{192}{7}=19$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{192}{7} ची बेरीज करची.

$$\frac{65}{7}b=\frac{325}{7}$$

\frac{65}{7} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$b=5$$

a=\frac{10}{7}b-\frac{64}{7} त b खातीर 5 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी a खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$a=\frac{10}{7}\times 5-\frac{64}{7}$$

5क \frac{10}{7} फावटी गुणचें.

$$a=\frac{50-64}{7}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{50}{7} क -\frac{64}{7} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$a=-2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$a=-2,b=5$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}&-\frac{-10}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}\\-\frac{3}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}&\frac{7}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\\-\frac{3}{65}&\frac{7}{65}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-64\right)+\frac{2}{13}\times 19\\-\frac{3}{65}\left(-64\right)+\frac{7}{65}\times 19\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां a आनी b काडचीं.

$$a=-2,b=5$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

7a आनी 3a बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 7 न गुणचें.

$$3\times 7a+3\left(-10\right)b=3\left(-64\right),7\times 3a+7\times 5b=7\times 19$$

सोंपें करचें.

$$21a-30b=-192,21a+35b=133$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 21a-30b=-192 तल्यान 21a+35b=133 वजा करचो.

$$21a-21a-30b-35b=-192-133$$

-21a कडेन 21a ची बेरीज करची. अटी 21a आनी -21a रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-30b-35b=-192-133$$

-35b कडेन -30b ची बेरीज करची.

$$-65b=-192-133$$

-133 कडेन -192 ची बेरीज करची.

$$-65b=-325$$

दोनुय कुशींक -65 न भाग लावचो.

$$b=5$$

3a+5b=19 त b खातीर 5 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी a खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3a+5\times 5=19$$

5क 5 फावटी गुणचें.

$$3a+25=19$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 25 वजा करचें.

$$3a=-6$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$a=-2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$a=-2,b=5$$