सोडोवचें {l}{6x-2y=4}{y=5x+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 2 y = 4 } \\ { y = 5 x + 3 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y = -\frac{19}{2} = -9\frac{1}{2} = -9.5$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 5x वजा करचें.

$$y-5x=3$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$6x-2y=4,-5x+y=3$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$6x-2y=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y ची बेरीज करची.

$$6x=2y+4$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{6}\left(2y+4\right)$$

4+2yक \frac{1}{6} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

-5x+y=3 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{2+y}{3} बदलपी घेवचो.

$$-5\left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)+y=3$$

\frac{2+y}{3}क -5 फावटी गुणचें.

$$-\frac{5}{3}y-\frac{10}{3}+y=3$$

y कडेन -\frac{5y}{3} ची बेरीज करची.

$$-\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}=3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{10}{3} ची बेरीज करची.

$$-\frac{2}{3}y=\frac{19}{3}$$

-\frac{2}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-\frac{19}{2}$$

x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3} त y खातीर -\frac{19}{2} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{1}{3}\left(-\frac{19}{2}\right)+\frac{2}{3}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{19}{2} क \frac{1}{3} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{19}{6}+\frac{2}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{19}{6} क \frac{2}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{5}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{19}{2}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 5x वजा करचें.

$$y-5x=3$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$6x-2y=4,-5x+y=3$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}&-\frac{-2}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}&\frac{6}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{4}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 4-\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{5}{4}\times 4-\frac{3}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\-\frac{19}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{19}{2}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 5x वजा करचें.

$$y-5x=3$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$6x-2y=4,-5x+y=3$$

6x आनी -5x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -5 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 6 न गुणचें.

$$-5\times 6x-5\left(-2\right)y=-5\times 4,6\left(-5\right)x+6y=6\times 3$$

सोंपें करचें.

$$-30x+10y=-20,-30x+6y=18$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -30x+10y=-20 तल्यान -30x+6y=18 वजा करचो.

$$-30x+30x+10y-6y=-20-18$$

30x कडेन -30x ची बेरीज करची. अटी -30x आनी 30x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$10y-6y=-20-18$$

-6y कडेन 10y ची बेरीज करची.

$$4y=-20-18$$

-18 कडेन -20 ची बेरीज करची.

$$4y=-38$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{19}{2}$$

-5x+y=3 त y खातीर -\frac{19}{2} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-5x-\frac{19}{2}=3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{19}{2} ची बेरीज करची.

$$-5x=\frac{25}{2}$$

दोनुय कुशींक -5 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{5}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{19}{2}$$