सोडोवचें {l}{6x+y=-9}{2x-3y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + y = - 9 } \\ { 2 x - 3 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-1$$

$$y=-3$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$6x+y=-9,2x-3y=7$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$6x+y=-9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$6x=-y-9$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{6}\left(-y-9\right)$$

-y-9क \frac{1}{6} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{6}y-\frac{3}{2}$$

2x-3y=7 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{y}{6}-\frac{3}{2} बदलपी घेवचो.

$$2\left(-\frac{1}{6}y-\frac{3}{2}\right)-3y=7$$

-\frac{y}{6}-\frac{3}{2}क 2 फावटी गुणचें.

$$-\frac{1}{3}y-3-3y=7$$

-3y कडेन -\frac{y}{3} ची बेरीज करची.

$$-\frac{10}{3}y-3=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3 ची बेरीज करची.

$$-\frac{10}{3}y=10$$

-\frac{10}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-3$$

x=-\frac{1}{6}y-\frac{3}{2} त y खातीर -3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-3\right)-\frac{3}{2}$$

-3क -\frac{1}{6} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{1-3}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{1}{2} क -\frac{3}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-1,y=-3$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$6x+y=-9,2x-3y=7$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{6\left(-3\right)-2}&-\frac{1}{6\left(-3\right)-2}\\-\frac{2}{6\left(-3\right)-2}&\frac{6}{6\left(-3\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}&\frac{1}{20}\\\frac{1}{10}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}\left(-9\right)+\frac{1}{20}\times 7\\\frac{1}{10}\left(-9\right)-\frac{3}{10}\times 7\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-1,y=-3$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$6x+y=-9,2x-3y=7$$

6x आनी 2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 6 न गुणचें.

$$2\times 6x+2y=2\left(-9\right),6\times 2x+6\left(-3\right)y=6\times 7$$

सोंपें करचें.

$$12x+2y=-18,12x-18y=42$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 12x+2y=-18 तल्यान 12x-18y=42 वजा करचो.

$$12x-12x+2y+18y=-18-42$$

-12x कडेन 12x ची बेरीज करची. अटी 12x आनी -12x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$2y+18y=-18-42$$

18y कडेन 2y ची बेरीज करची.

$$20y=-18-42$$

-42 कडेन -18 ची बेरीज करची.

$$20y=-60$$

दोनुय कुशींक 20 न भाग लावचो.

$$y=-3$$

2x-3y=7 त y खातीर -3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x-3\left(-3\right)=7$$

-3क -3 फावटी गुणचें.

$$2x+9=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 9 वजा करचें.

$$2x=-2$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=-1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-1,y=-3$$