सोडोवचें {l}{6x+3y=14}{8x-2y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 3 y = 14 } \\ { 8 x - 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{10}{9} = 1\frac{1}{9} \approx 1.111111111$$

$$y = \frac{22}{9} = 2\frac{4}{9} \approx 2.444444444$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$6x+3y=14,8x-2y=4$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$6x+3y=14$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$6x=-3y+14$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+14\right)$$

-3y+14क \frac{1}{6} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{3}$$

8x-2y=4 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{y}{2}+\frac{7}{3} बदलपी घेवचो.

$$8\left(-\frac{1}{2}y+\frac{7}{3}\right)-2y=4$$

-\frac{y}{2}+\frac{7}{3}क 8 फावटी गुणचें.

$$-4y+\frac{56}{3}-2y=4$$

-2y कडेन -4y ची बेरीज करची.

$$-6y+\frac{56}{3}=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{56}{3} वजा करचें.

$$-6y=-\frac{44}{3}$$

दोनुय कुशींक -6 न भाग लावचो.

$$y=\frac{22}{9}$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{3} त y खातीर \frac{22}{9} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{22}{9}+\frac{7}{3}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{22}{9} क -\frac{1}{2} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{11}{9}+\frac{7}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{11}{9} क \frac{7}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{10}{9}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{10}{9},y=\frac{22}{9}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$6x+3y=14,8x-2y=4$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}6&3\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&3\\8&-2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{6\left(-2\right)-3\times 8}&-\frac{3}{6\left(-2\right)-3\times 8}\\-\frac{8}{6\left(-2\right)-3\times 8}&\frac{6}{6\left(-2\right)-3\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{18}&\frac{1}{12}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{18}\times 14+\frac{1}{12}\times 4\\\frac{2}{9}\times 14-\frac{1}{6}\times 4\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{9}\\\frac{22}{9}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{10}{9},y=\frac{22}{9}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$6x+3y=14,8x-2y=4$$

6x आनी 8x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 8 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 6 न गुणचें.

$$8\times 6x+8\times 3y=8\times 14,6\times 8x+6\left(-2\right)y=6\times 4$$

सोंपें करचें.

$$48x+24y=112,48x-12y=24$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 48x+24y=112 तल्यान 48x-12y=24 वजा करचो.

$$48x-48x+24y+12y=112-24$$

-48x कडेन 48x ची बेरीज करची. अटी 48x आनी -48x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$24y+12y=112-24$$

12y कडेन 24y ची बेरीज करची.

$$36y=112-24$$

-24 कडेन 112 ची बेरीज करची.

$$36y=88$$

दोनुय कुशींक 36 न भाग लावचो.

$$y=\frac{22}{9}$$

8x-2y=4 त y खातीर \frac{22}{9} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$8x-2\times \frac{22}{9}=4$$

\frac{22}{9}क -2 फावटी गुणचें.

$$8x-\frac{44}{9}=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{44}{9} ची बेरीज करची.

$$8x=\frac{80}{9}$$

दोनुय कुशींक 8 न भाग लावचो.

$$x=\frac{10}{9}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{10}{9},y=\frac{22}{9}$$