सोडोवचें {l}{6u+4v=5}{9u-8v=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 u + 4 v = 5 } \\ { 9 u - 8 v = 4 } \end{array} \right.$$

u, v खातीर सोडोवचें

$$u=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$v=\frac{1}{4}=0.25$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक u वेगळावन u खातीर तें सोडोवचें.

$$6u+4v=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4v वजा करचें.

$$6u=-4v+5$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$u=\frac{1}{6}\left(-4v+5\right)$$

-4v+5क \frac{1}{6} फावटी गुणचें.

$$u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}$$

9u-8v=4 ह्या दुस-या समिकरणांत u खातीर -\frac{2v}{3}+\frac{5}{6} बदलपी घेवचो.

$$9\left(-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}\right)-8v=4$$

-\frac{2v}{3}+\frac{5}{6}क 9 फावटी गुणचें.

$$-6v+\frac{15}{2}-8v=4$$

-8v कडेन -6v ची बेरीज करची.

$$-14v+\frac{15}{2}=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{15}{2} वजा करचें.

$$-14v=-\frac{7}{2}$$

दोनुय कुशींक -14 न भाग लावचो.

$$v=\frac{1}{4}$$

u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6} त v खातीर \frac{1}{4} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी u खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$u=-\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}+\frac{5}{6}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{1}{4} क -\frac{2}{3} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$u=\frac{-1+5}{6}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{1}{6} क \frac{5}{6} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$u=\frac{2}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{6\left(-8\right)-4\times 9}&-\frac{4}{6\left(-8\right)-4\times 9}\\-\frac{9}{6\left(-8\right)-4\times 9}&\frac{6}{6\left(-8\right)-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{3}{28}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}\times 5+\frac{1}{21}\times 4\\\frac{3}{28}\times 5-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां u आनी v काडचीं.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

6u आनी 9u बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 9 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 6 न गुणचें.

$$9\times 6u+9\times 4v=9\times 5,6\times 9u+6\left(-8\right)v=6\times 4$$

सोंपें करचें.

$$54u+36v=45,54u-48v=24$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 54u+36v=45 तल्यान 54u-48v=24 वजा करचो.

$$54u-54u+36v+48v=45-24$$

-54u कडेन 54u ची बेरीज करची. अटी 54u आनी -54u रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$36v+48v=45-24$$

48v कडेन 36v ची बेरीज करची.

$$84v=45-24$$

-24 कडेन 45 ची बेरीज करची.

$$84v=21$$

दोनुय कुशींक 84 न भाग लावचो.

$$v=\frac{1}{4}$$

9u-8v=4 त v खातीर \frac{1}{4} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी u खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$9u-8\times \frac{1}{4}=4$$

\frac{1}{4}क -8 फावटी गुणचें.

$$9u-2=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2 ची बेरीज करची.

$$9u=6$$

दोनुय कुशींक 9 न भाग लावचो.

$$u=\frac{2}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$