सोडोवचें {l}{5y-4z=-1}{-7y+7z=9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 y - 4 z = - 1 } \\ { - 7 y + 7 z = 9 } \end{array} \right.$$

y, z खातीर सोडोवचें

$$y = \frac{29}{7} = 4\frac{1}{7} \approx 4.142857143$$

$$z = \frac{38}{7} = 5\frac{3}{7} \approx 5.428571429$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5y-4z=-1,-7y+7z=9$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक y वेगळावन y खातीर तें सोडोवचें.

$$5y-4z=-1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4z ची बेरीज करची.

$$5y=4z-1$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$y=\frac{1}{5}\left(4z-1\right)$$

4z-1क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$y=\frac{4}{5}z-\frac{1}{5}$$

-7y+7z=9 ह्या दुस-या समिकरणांत y खातीर \frac{4z-1}{5} बदलपी घेवचो.

$$-7\left(\frac{4}{5}z-\frac{1}{5}\right)+7z=9$$

\frac{4z-1}{5}क -7 फावटी गुणचें.

$$-\frac{28}{5}z+\frac{7}{5}+7z=9$$

7z कडेन -\frac{28z}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{7}{5}z+\frac{7}{5}=9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{7}{5} वजा करचें.

$$\frac{7}{5}z=\frac{38}{5}$$

\frac{7}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$z=\frac{38}{7}$$

y=\frac{4}{5}z-\frac{1}{5} त z खातीर \frac{38}{7} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$y=\frac{4}{5}\times \frac{38}{7}-\frac{1}{5}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{38}{7} क \frac{4}{5} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$y=\frac{152}{35}-\frac{1}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{152}{35} क -\frac{1}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$y=\frac{29}{7}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=\frac{29}{7},z=\frac{38}{7}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5y-4z=-1,-7y+7z=9$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{7}\\1&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1+\frac{4}{7}\times 9\\-1+\frac{5}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{29}{7}\\\frac{38}{7}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां y आनी z काडचीं.

$$y=\frac{29}{7},z=\frac{38}{7}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5y-4z=-1,-7y+7z=9$$

5y आनी -7y बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -7 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$-7\times 5y-7\left(-4\right)z=-7\left(-1\right),5\left(-7\right)y+5\times 7z=5\times 9$$

सोंपें करचें.

$$-35y+28z=7,-35y+35z=45$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -35y+28z=7 तल्यान -35y+35z=45 वजा करचो.

$$-35y+35y+28z-35z=7-45$$

35y कडेन -35y ची बेरीज करची. अटी -35y आनी 35y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$28z-35z=7-45$$

-35z कडेन 28z ची बेरीज करची.

$$-7z=7-45$$

-45 कडेन 7 ची बेरीज करची.

$$-7z=-38$$

दोनुय कुशींक -7 न भाग लावचो.

$$z=\frac{38}{7}$$

-7y+7z=9 त z खातीर \frac{38}{7} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-7y+7\times \frac{38}{7}=9$$

\frac{38}{7}क 7 फावटी गुणचें.

$$-7y+38=9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 38 वजा करचें.

$$-7y=-29$$

दोनुय कुशींक -7 न भाग लावचो.

$$y=\frac{29}{7}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=\frac{29}{7},z=\frac{38}{7}$$