सोडोवचें {l}{5x-y=110}{9y-x=110}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - y = 110 } \\ { 9 y - x = 110 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=25$$

$$y=15$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x-y=110,-x+9y=110$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x-y=110$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y ची बेरीज करची.

$$5x=y+110$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+110\right)$$

y+110क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{1}{5}y+22$$

-x+9y=110 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{y}{5}+22 बदलपी घेवचो.

$$-\left(\frac{1}{5}y+22\right)+9y=110$$

\frac{y}{5}+22क -1 फावटी गुणचें.

$$-\frac{1}{5}y-22+9y=110$$

9y कडेन -\frac{y}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{44}{5}y-22=110$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 22 ची बेरीज करची.

$$\frac{44}{5}y=132$$

\frac{44}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=15$$

x=\frac{1}{5}y+22 त y खातीर 15 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{1}{5}\times 15+22$$

15क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=3+22$$

3 कडेन 22 ची बेरीज करची.

$$x=25$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=25,y=15$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x-y=110,-x+9y=110$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{5}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{44}&\frac{1}{44}\\\frac{1}{44}&\frac{5}{44}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{44}\times 110+\frac{1}{44}\times 110\\\frac{1}{44}\times 110+\frac{5}{44}\times 110\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=25,y=15$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x-y=110,-x+9y=110$$

5x आनी -x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$-5x-\left(-y\right)=-110,5\left(-1\right)x+5\times 9y=5\times 110$$

सोंपें करचें.

$$-5x+y=-110,-5x+45y=550$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -5x+y=-110 तल्यान -5x+45y=550 वजा करचो.

$$-5x+5x+y-45y=-110-550$$

5x कडेन -5x ची बेरीज करची. अटी -5x आनी 5x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$y-45y=-110-550$$

-45y कडेन y ची बेरीज करची.

$$-44y=-110-550$$

-550 कडेन -110 ची बेरीज करची.

$$-44y=-660$$

दोनुय कुशींक -44 न भाग लावचो.

$$y=15$$

-x+9y=110 त y खातीर 15 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-x+9\times 15=110$$

15क 9 फावटी गुणचें.

$$-x+135=110$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 135 वजा करचें.

$$-x=-25$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$x=25$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=25,y=15$$