सोडोवचें {l}{5x-4y=-3}{3x-4y=-13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = - 3 } \\ { 3 x - 4 y = - 13 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=5$$

$$y=7$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x-4y=-3,3x-4y=-13$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x-4y=-3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4y ची बेरीज करची.

$$5x=4y-3$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-3\right)$$

4y-3क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}$$

3x-4y=-13 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{4y-3}{5} बदलपी घेवचो.

$$3\left(\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}\right)-4y=-13$$

\frac{4y-3}{5}क 3 फावटी गुणचें.

$$\frac{12}{5}y-\frac{9}{5}-4y=-13$$

-4y कडेन \frac{12y}{5} ची बेरीज करची.

$$-\frac{8}{5}y-\frac{9}{5}=-13$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{9}{5} ची बेरीज करची.

$$-\frac{8}{5}y=-\frac{56}{5}$$

-\frac{8}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=7$$

x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5} त y खातीर 7 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{4}{5}\times 7-\frac{3}{5}$$

7क \frac{4}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{28-3}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{28}{5} क -\frac{3}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=5,y=7$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x-4y=-3,3x-4y=-13$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{3}{8}&-\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-3\right)-\frac{1}{2}\left(-13\right)\\\frac{3}{8}\left(-3\right)-\frac{5}{8}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=5,y=7$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x-4y=-3,3x-4y=-13$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 5x-4y=-3 तल्यान 3x-4y=-13 वजा करचो.

$$5x-3x-4y+4y=-3+13$$

4y कडेन -4y ची बेरीज करची. अटी -4y आनी 4y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$5x-3x=-3+13$$

-3x कडेन 5x ची बेरीज करची.

$$2x=-3+13$$

13 कडेन -3 ची बेरीज करची.

$$2x=10$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=5$$

3x-4y=-13 त x खातीर 5 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3\times 5-4y=-13$$

5क 3 फावटी गुणचें.

$$15-4y=-13$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 15 वजा करचें.

$$-4y=-28$$

दोनुय कुशींक -4 न भाग लावचो.

$$y=7$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=5,y=7$$