सोडोवचें {l}{5x-3y=12}{x-2y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 12 } \\ { x - 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=3$$

$$y=1$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x-3y=12,x-2y=1$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x-3y=12$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y ची बेरीज करची.

$$5x=3y+12$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+12\right)$$

12+3yक \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{12}{5}$$

x-2y=1 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{12+3y}{5} बदलपी घेवचो.

$$\frac{3}{5}y+\frac{12}{5}-2y=1$$

-2y कडेन \frac{3y}{5} ची बेरीज करची.

$$-\frac{7}{5}y+\frac{12}{5}=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{12}{5} वजा करचें.

$$-\frac{7}{5}y=-\frac{7}{5}$$

-\frac{7}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=1$$

x=\frac{3}{5}y+\frac{12}{5} त y खातीर 1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{3+12}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{3}{5} क \frac{12}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=3,y=1$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x-3y=12,x-2y=1$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-3\\1&-2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\1\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{5\left(-2\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{5\left(-2\right)-\left(-3\right)}&\frac{5}{5\left(-2\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\1\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 12-\frac{3}{7}\\\frac{1}{7}\times 12-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=3,y=1$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x-3y=12,x-2y=1$$

5x आनी x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$5x-3y=12,5x+5\left(-2\right)y=5$$

सोंपें करचें.

$$5x-3y=12,5x-10y=5$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 5x-3y=12 तल्यान 5x-10y=5 वजा करचो.

$$5x-5x-3y+10y=12-5$$

-5x कडेन 5x ची बेरीज करची. अटी 5x आनी -5x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-3y+10y=12-5$$

10y कडेन -3y ची बेरीज करची.

$$7y=12-5$$

-5 कडेन 12 ची बेरीज करची.

$$7y=7$$

दोनुय कुशींक 7 न भाग लावचो.

$$y=1$$

x-2y=1 त y खातीर 1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x-2=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2 ची बेरीज करची.

$$x=3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=3,y=1$$