सोडोवचें {l}{5x-2y=48}{2x+3y=-23}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 48 } \\ { 2 x + 3 y = - 23 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{98}{19} = 5\frac{3}{19} \approx 5.157894737$$

$$y = -\frac{211}{19} = -11\frac{2}{19} \approx -11.105263158$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x-2y=48,2x+3y=-23$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x-2y=48$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y ची बेरीज करची.

$$5x=2y+48$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+48\right)$$

48+2yक \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{48}{5}$$

2x+3y=-23 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{48+2y}{5} बदलपी घेवचो.

$$2\left(\frac{2}{5}y+\frac{48}{5}\right)+3y=-23$$

\frac{48+2y}{5}क 2 फावटी गुणचें.

$$\frac{4}{5}y+\frac{96}{5}+3y=-23$$

3y कडेन \frac{4y}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{19}{5}y+\frac{96}{5}=-23$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{96}{5} वजा करचें.

$$\frac{19}{5}y=-\frac{211}{5}$$

\frac{19}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-\frac{211}{19}$$

x=\frac{2}{5}y+\frac{48}{5} त y खातीर -\frac{211}{19} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{2}{5}\left(-\frac{211}{19}\right)+\frac{48}{5}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{211}{19} क \frac{2}{5} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{422}{95}+\frac{48}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{422}{95} क \frac{48}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{98}{19}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{98}{19},y=-\frac{211}{19}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x-2y=48,2x+3y=-23$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\-23\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-2\\2&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\-23\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\-23\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\-23\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{5\times 3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{5\times 3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\-23\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\\-\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\-23\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\times 48+\frac{2}{19}\left(-23\right)\\-\frac{2}{19}\times 48+\frac{5}{19}\left(-23\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{98}{19}\\-\frac{211}{19}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{98}{19},y=-\frac{211}{19}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x-2y=48,2x+3y=-23$$

5x आनी 2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$2\times 5x+2\left(-2\right)y=2\times 48,5\times 2x+5\times 3y=5\left(-23\right)$$

सोंपें करचें.

$$10x-4y=96,10x+15y=-115$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 10x-4y=96 तल्यान 10x+15y=-115 वजा करचो.

$$10x-10x-4y-15y=96+115$$

-10x कडेन 10x ची बेरीज करची. अटी 10x आनी -10x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-4y-15y=96+115$$

-15y कडेन -4y ची बेरीज करची.

$$-19y=96+115$$

115 कडेन 96 ची बेरीज करची.

$$-19y=211$$

दोनुय कुशींक -19 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{211}{19}$$

2x+3y=-23 त y खातीर -\frac{211}{19} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x+3\left(-\frac{211}{19}\right)=-23$$

-\frac{211}{19}क 3 फावटी गुणचें.

$$2x-\frac{633}{19}=-23$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{633}{19} ची बेरीज करची.

$$2x=\frac{196}{19}$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{98}{19}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{98}{19},y=-\frac{211}{19}$$