सोडोवचें {l}{5x-2y=14}{3x+7y=21}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 14 } \\ { 3 x + 7 y = 21 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{140}{41} = 3\frac{17}{41} \approx 3.414634146$$

$$y = \frac{63}{41} = 1\frac{22}{41} \approx 1.536585366$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x-2y=14$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y ची बेरीज करची.

$$5x=2y+14$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+14\right)$$

14+2yक \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{14}{5}$$

3x+7y=21 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{14+2y}{5} बदलपी घेवचो.

$$3\left(\frac{2}{5}y+\frac{14}{5}\right)+7y=21$$

\frac{14+2y}{5}क 3 फावटी गुणचें.

$$\frac{6}{5}y+\frac{42}{5}+7y=21$$

7y कडेन \frac{6y}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{41}{5}y+\frac{42}{5}=21$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{42}{5} वजा करचें.

$$\frac{41}{5}y=\frac{63}{5}$$

\frac{41}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{63}{41}$$

x=\frac{2}{5}y+\frac{14}{5} त y खातीर \frac{63}{41} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{2}{5}\times \frac{63}{41}+\frac{14}{5}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{63}{41} क \frac{2}{5} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{126}{205}+\frac{14}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{126}{205} क \frac{14}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{140}{41}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{41}&\frac{2}{41}\\-\frac{3}{41}&\frac{5}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{41}\times 14+\frac{2}{41}\times 21\\-\frac{3}{41}\times 14+\frac{5}{41}\times 21\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{140}{41}\\\frac{63}{41}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

5x आनी 3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$3\times 5x+3\left(-2\right)y=3\times 14,5\times 3x+5\times 7y=5\times 21$$

सोंपें करचें.

$$15x-6y=42,15x+35y=105$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 15x-6y=42 तल्यान 15x+35y=105 वजा करचो.

$$15x-15x-6y-35y=42-105$$

-15x कडेन 15x ची बेरीज करची. अटी 15x आनी -15x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-6y-35y=42-105$$

-35y कडेन -6y ची बेरीज करची.

$$-41y=42-105$$

-105 कडेन 42 ची बेरीज करची.

$$-41y=-63$$

दोनुय कुशींक -41 न भाग लावचो.

$$y=\frac{63}{41}$$

3x+7y=21 त y खातीर \frac{63}{41} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x+7\times \frac{63}{41}=21$$

\frac{63}{41}क 7 फावटी गुणचें.

$$3x+\frac{441}{41}=21$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{441}{41} वजा करचें.

$$3x=\frac{420}{41}$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{140}{41}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$