सोडोवचें {l}{5x+6y=4}{x-3y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 6 y = 4 } \\ { x - 3 y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=2$$

$$y=-1$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x+6y=4,x-3y=5$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x+6y=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 6y वजा करचें.

$$5x=-6y+4$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(-6y+4\right)$$

-6y+4क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{6}{5}y+\frac{4}{5}$$

x-3y=5 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-6y+4}{5} बदलपी घेवचो.

$$-\frac{6}{5}y+\frac{4}{5}-3y=5$$

-3y कडेन -\frac{6y}{5} ची बेरीज करची.

$$-\frac{21}{5}y+\frac{4}{5}=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{4}{5} वजा करचें.

$$-\frac{21}{5}y=\frac{21}{5}$$

-\frac{21}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-1$$

x=-\frac{6}{5}y+\frac{4}{5} त y खातीर -1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{6}{5}\left(-1\right)+\frac{4}{5}$$

-1क -\frac{6}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{6+4}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{6}{5} क \frac{4}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=2,y=-1$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x+6y=4,x-3y=5$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&6\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&6\\1&-3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&6\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-6}&-\frac{6}{5\left(-3\right)-6}\\-\frac{1}{5\left(-3\right)-6}&\frac{5}{5\left(-3\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{1}{21}&-\frac{5}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 4+\frac{2}{7}\times 5\\\frac{1}{21}\times 4-\frac{5}{21}\times 5\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=2,y=-1$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x+6y=4,x-3y=5$$

5x आनी x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$5x+6y=4,5x+5\left(-3\right)y=5\times 5$$

सोंपें करचें.

$$5x+6y=4,5x-15y=25$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 5x+6y=4 तल्यान 5x-15y=25 वजा करचो.

$$5x-5x+6y+15y=4-25$$

-5x कडेन 5x ची बेरीज करची. अटी 5x आनी -5x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$6y+15y=4-25$$

15y कडेन 6y ची बेरीज करची.

$$21y=4-25$$

-25 कडेन 4 ची बेरीज करची.

$$21y=-21$$

दोनुय कुशींक 21 न भाग लावचो.

$$y=-1$$

x-3y=5 त y खातीर -1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x-3\left(-1\right)=5$$

-1क -3 फावटी गुणचें.

$$x+3=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3 वजा करचें.

$$x=2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=2,y=-1$$