सोडोवचें {l}{5x+4y=-3}{6x+3y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 4 y = - 3 } \\ { 6 x + 3 y = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=\frac{1}{9}\approx 0.111111111$$

$$y=-\frac{8}{9}\approx -0.888888889$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x+4y=-3,6x+3y=-2$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x+4y=-3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4y वजा करचें.

$$5x=-4y-3$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y-3\right)$$

-4y-3क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}$$

6x+3y=-2 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-4y-3}{5} बदलपी घेवचो.

$$6\left(-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}\right)+3y=-2$$

\frac{-4y-3}{5}क 6 फावटी गुणचें.

$$-\frac{24}{5}y-\frac{18}{5}+3y=-2$$

3y कडेन -\frac{24y}{5} ची बेरीज करची.

$$-\frac{9}{5}y-\frac{18}{5}=-2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{18}{5} ची बेरीज करची.

$$-\frac{9}{5}y=\frac{8}{5}$$

-\frac{9}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-\frac{8}{9}$$

x=-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5} त y खातीर -\frac{8}{9} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{4}{5}\left(-\frac{8}{9}\right)-\frac{3}{5}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{8}{9} क -\frac{4}{5} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{32}{45}-\frac{3}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{32}{45} क -\frac{3}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{1}{9}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x+4y=-3,6x+3y=-2$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 6}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 6}\\-\frac{6}{5\times 3-4\times 6}&\frac{5}{5\times 3-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{9}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-3\right)+\frac{4}{9}\left(-2\right)\\\frac{2}{3}\left(-3\right)-\frac{5}{9}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\\-\frac{8}{9}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x+4y=-3,6x+3y=-2$$

5x आनी 6x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 6 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$6\times 5x+6\times 4y=6\left(-3\right),5\times 6x+5\times 3y=5\left(-2\right)$$

सोंपें करचें.

$$30x+24y=-18,30x+15y=-10$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 30x+24y=-18 तल्यान 30x+15y=-10 वजा करचो.

$$30x-30x+24y-15y=-18+10$$

-30x कडेन 30x ची बेरीज करची. अटी 30x आनी -30x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$24y-15y=-18+10$$

-15y कडेन 24y ची बेरीज करची.

$$9y=-18+10$$

10 कडेन -18 ची बेरीज करची.

$$9y=-8$$

दोनुय कुशींक 9 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{8}{9}$$

6x+3y=-2 त y खातीर -\frac{8}{9} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$6x+3\left(-\frac{8}{9}\right)=-2$$

-\frac{8}{9}क 3 फावटी गुणचें.

$$6x-\frac{8}{3}=-2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{8}{3} ची बेरीज करची.

$$6x=\frac{2}{3}$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{9}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}$$