सोडोवचें {l}{5x+3y=1}{4x+7y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 1 } \\ { 4 x + 7 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=\frac{1}{23}\approx 0.043478261$$

$$y=\frac{6}{23}\approx 0.260869565$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x+3y=1,4x+7y=2$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x+3y=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$5x=-3y+1$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+1\right)$$

-3y+1क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{1}{5}$$

4x+7y=2 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-3y+1}{5} बदलपी घेवचो.

$$4\left(-\frac{3}{5}y+\frac{1}{5}\right)+7y=2$$

\frac{-3y+1}{5}क 4 फावटी गुणचें.

$$-\frac{12}{5}y+\frac{4}{5}+7y=2$$

7y कडेन -\frac{12y}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{23}{5}y+\frac{4}{5}=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{4}{5} वजा करचें.

$$\frac{23}{5}y=\frac{6}{5}$$

\frac{23}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{6}{23}$$

x=-\frac{3}{5}y+\frac{1}{5} त y खातीर \frac{6}{23} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{6}{23}+\frac{1}{5}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{6}{23} क -\frac{3}{5} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{18}{115}+\frac{1}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{18}{115} क \frac{1}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{1}{23}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{1}{23},y=\frac{6}{23}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x+3y=1,4x+7y=2$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-3\times 4}&-\frac{3}{5\times 7-3\times 4}\\-\frac{4}{5\times 7-3\times 4}&\frac{5}{5\times 7-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}&-\frac{3}{23}\\-\frac{4}{23}&\frac{5}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}-\frac{3}{23}\times 2\\-\frac{4}{23}+\frac{5}{23}\times 2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}\\\frac{6}{23}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{1}{23},y=\frac{6}{23}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x+3y=1,4x+7y=2$$

5x आनी 4x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$4\times 5x+4\times 3y=4,5\times 4x+5\times 7y=5\times 2$$

सोंपें करचें.

$$20x+12y=4,20x+35y=10$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 20x+12y=4 तल्यान 20x+35y=10 वजा करचो.

$$20x-20x+12y-35y=4-10$$

-20x कडेन 20x ची बेरीज करची. अटी 20x आनी -20x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$12y-35y=4-10$$

-35y कडेन 12y ची बेरीज करची.

$$-23y=4-10$$

-10 कडेन 4 ची बेरीज करची.

$$-23y=-6$$

दोनुय कुशींक -23 न भाग लावचो.

$$y=\frac{6}{23}$$

4x+7y=2 त y खातीर \frac{6}{23} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$4x+7\times \frac{6}{23}=2$$

\frac{6}{23}क 7 फावटी गुणचें.

$$4x+\frac{42}{23}=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{42}{23} वजा करचें.

$$4x=\frac{4}{23}$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{23}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{1}{23},y=\frac{6}{23}$$