सोडोवचें {l}{5x+10y=-70}{-8x+30y=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 10 y = - 70 } \\ { - 8 x + 30 y = 20 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-10$$

$$y=-2$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x+10y=-70$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 10y वजा करचें.

$$5x=-10y-70$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(-10y-70\right)$$

-10y-70क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=-2y-14$$

-8x+30y=20 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -2y-14 बदलपी घेवचो.

$$-8\left(-2y-14\right)+30y=20$$

-2y-14क -8 फावटी गुणचें.

$$16y+112+30y=20$$

30y कडेन 16y ची बेरीज करची.

$$46y+112=20$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 112 वजा करचें.

$$46y=-92$$

दोनुय कुशींक 46 न भाग लावचो.

$$y=-2$$

x=-2y-14 त y खातीर -2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-2\left(-2\right)-14$$

-2क -2 फावटी गुणचें.

$$x=4-14$$

4 कडेन -14 ची बेरीज करची.

$$x=-10$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-10,y=-2$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{5\times 30-10\left(-8\right)}&-\frac{10}{5\times 30-10\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{5\times 30-10\left(-8\right)}&\frac{5}{5\times 30-10\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}&-\frac{1}{23}\\\frac{4}{115}&\frac{1}{46}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}\left(-70\right)-\frac{1}{23}\times 20\\\frac{4}{115}\left(-70\right)+\frac{1}{46}\times 20\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-10,y=-2$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

5x आनी -8x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -8 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$-8\times 5x-8\times 10y=-8\left(-70\right),5\left(-8\right)x+5\times 30y=5\times 20$$

सोंपें करचें.

$$-40x-80y=560,-40x+150y=100$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -40x-80y=560 तल्यान -40x+150y=100 वजा करचो.

$$-40x+40x-80y-150y=560-100$$

40x कडेन -40x ची बेरीज करची. अटी -40x आनी 40x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-80y-150y=560-100$$

-150y कडेन -80y ची बेरीज करची.

$$-230y=560-100$$

-100 कडेन 560 ची बेरीज करची.

$$-230y=460$$

दोनुय कुशींक -230 न भाग लावचो.

$$y=-2$$

-8x+30y=20 त y खातीर -2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-8x+30\left(-2\right)=20$$

-2क 30 फावटी गुणचें.

$$-8x-60=20$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 60 ची बेरीज करची.

$$-8x=80$$

दोनुय कुशींक -8 न भाग लावचो.

$$x=-10$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-10,y=-2$$