सोडोवचें {l}{5a+3b=5}{-2a+4b=24}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 a + 3 b = 5 } \\ { - 2 a + 4 b = 24 } \end{array} \right.$$

a, b खातीर सोडोवचें

$$a=-2$$

$$b=5$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5a+3b=5,-2a+4b=24$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक a वेगळावन a खातीर तें सोडोवचें.

$$5a+3b=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3b वजा करचें.

$$5a=-3b+5$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$a=\frac{1}{5}\left(-3b+5\right)$$

-3b+5क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$a=-\frac{3}{5}b+1$$

-2a+4b=24 ह्या दुस-या समिकरणांत a खातीर -\frac{3b}{5}+1 बदलपी घेवचो.

$$-2\left(-\frac{3}{5}b+1\right)+4b=24$$

-\frac{3b}{5}+1क -2 फावटी गुणचें.

$$\frac{6}{5}b-2+4b=24$$

4b कडेन \frac{6b}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{26}{5}b-2=24$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2 ची बेरीज करची.

$$\frac{26}{5}b=26$$

\frac{26}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$b=5$$

a=-\frac{3}{5}b+1 त b खातीर 5 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी a खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$a=-\frac{3}{5}\times 5+1$$

5क -\frac{3}{5} फावटी गुणचें.

$$a=-3+1$$

-3 कडेन 1 ची बेरीज करची.

$$a=-2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$a=-2,b=5$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5a+3b=5,-2a+4b=24$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&3\\-2&4\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{5\times 4-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{5\times 4-3\left(-2\right)}&\frac{5}{5\times 4-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{3}{26}\\\frac{1}{13}&\frac{5}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 5-\frac{3}{26}\times 24\\\frac{1}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 24\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां a आनी b काडचीं.

$$a=-2,b=5$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5a+3b=5,-2a+4b=24$$

5a आनी -2a बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$-2\times 5a-2\times 3b=-2\times 5,5\left(-2\right)a+5\times 4b=5\times 24$$

सोंपें करचें.

$$-10a-6b=-10,-10a+20b=120$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -10a-6b=-10 तल्यान -10a+20b=120 वजा करचो.

$$-10a+10a-6b-20b=-10-120$$

10a कडेन -10a ची बेरीज करची. अटी -10a आनी 10a रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-6b-20b=-10-120$$

-20b कडेन -6b ची बेरीज करची.

$$-26b=-10-120$$

-120 कडेन -10 ची बेरीज करची.

$$-26b=-130$$

दोनुय कुशींक -26 न भाग लावचो.

$$b=5$$

-2a+4b=24 त b खातीर 5 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी a खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-2a+4\times 5=24$$

5क 4 फावटी गुणचें.

$$-2a+20=24$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 20 वजा करचें.

$$-2a=4$$

दोनुय कुशींक -2 न भाग लावचो.

$$a=-2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$a=-2,b=5$$