सोडोवचें {l}{44=12k+b}{16=82k+b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 44 = 12 k + b } \\ { 16 = 82 k + b } \end{array} \right.$$

k, b खातीर सोडोवचें

$$k=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$b = \frac{244}{5} = 48\frac{4}{5} = 48.8$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. कुशी हाणच्यो ताका लागून बरोबर चिन्नाच्या दाव्यान सगळी विशम संज्ञा येतली.

$$12k+b=44$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. कुशी हाणच्यो ताका लागून बरोबर चिन्नाच्या दाव्यान सगळी विशम संज्ञा येतली.

$$82k+b=16$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$12k+b=44,82k+b=16$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक k वेगळावन k खातीर तें सोडोवचें.

$$12k+b=44$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान b वजा करचें.

$$12k=-b+44$$

दोनुय कुशींक 12 न भाग लावचो.

$$k=\frac{1}{12}\left(-b+44\right)$$

-b+44क \frac{1}{12} फावटी गुणचें.

$$k=-\frac{1}{12}b+\frac{11}{3}$$

82k+b=16 ह्या दुस-या समिकरणांत k खातीर -\frac{b}{12}+\frac{11}{3} बदलपी घेवचो.

$$82\left(-\frac{1}{12}b+\frac{11}{3}\right)+b=16$$

-\frac{b}{12}+\frac{11}{3}क 82 फावटी गुणचें.

$$-\frac{41}{6}b+\frac{902}{3}+b=16$$

b कडेन -\frac{41b}{6} ची बेरीज करची.

$$-\frac{35}{6}b+\frac{902}{3}=16$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{902}{3} वजा करचें.

$$-\frac{35}{6}b=-\frac{854}{3}$$

-\frac{35}{6} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$b=\frac{244}{5}$$

k=-\frac{1}{12}b+\frac{11}{3} त b खातीर \frac{244}{5} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी k खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$k=-\frac{1}{12}\times \frac{244}{5}+\frac{11}{3}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{244}{5} क -\frac{1}{12} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$k=-\frac{61}{15}+\frac{11}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{61}{15} क \frac{11}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$k=-\frac{2}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$k=-\frac{2}{5},b=\frac{244}{5}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. कुशी हाणच्यो ताका लागून बरोबर चिन्नाच्या दाव्यान सगळी विशम संज्ञा येतली.

$$12k+b=44$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. कुशी हाणच्यो ताका लागून बरोबर चिन्नाच्या दाव्यान सगळी विशम संज्ञा येतली.

$$82k+b=16$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$12k+b=44,82k+b=16$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12-82}&-\frac{1}{12-82}\\-\frac{82}{12-82}&\frac{12}{12-82}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{70}&\frac{1}{70}\\\frac{41}{35}&-\frac{6}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{70}\times 44+\frac{1}{70}\times 16\\\frac{41}{35}\times 44-\frac{6}{35}\times 16\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\\\frac{244}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां k आनी b काडचीं.

$$k=-\frac{2}{5},b=\frac{244}{5}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. कुशी हाणच्यो ताका लागून बरोबर चिन्नाच्या दाव्यान सगळी विशम संज्ञा येतली.

$$12k+b=44$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. कुशी हाणच्यो ताका लागून बरोबर चिन्नाच्या दाव्यान सगळी विशम संज्ञा येतली.

$$82k+b=16$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$12k+b=44,82k+b=16$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 12k+b=44 तल्यान 82k+b=16 वजा करचो.

$$12k-82k+b-b=44-16$$

-b कडेन b ची बेरीज करची. अटी b आनी -b रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$12k-82k=44-16$$

-82k कडेन 12k ची बेरीज करची.

$$-70k=44-16$$

-16 कडेन 44 ची बेरीज करची.

$$-70k=28$$

दोनुय कुशींक -70 न भाग लावचो.

$$k=-\frac{2}{5}$$

82k+b=16 त k खातीर -\frac{2}{5} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी b खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$82\left(-\frac{2}{5}\right)+b=16$$

-\frac{2}{5}क 82 फावटी गुणचें.

$$-\frac{164}{5}+b=16$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{164}{5} ची बेरीज करची.

$$b=\frac{244}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$k=-\frac{2}{5},b=\frac{244}{5}$$