सोडोवचें {l}{40x+720y=112}{120x+2205y=340.5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 40 x + 720 y = 112 } \\ { 120 x + 2205 y = 340.5 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=1$$

$$y=0.1$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$40x+720y=112,120x+2205y=340.5$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$40x+720y=112$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 720y वजा करचें.

$$40x=-720y+112$$

दोनुय कुशींक 40 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{40}\left(-720y+112\right)$$

-720y+112क \frac{1}{40} फावटी गुणचें.

$$x=-18y+\frac{14}{5}$$

120x+2205y=340.5 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -18y+\frac{14}{5} बदलपी घेवचो.

$$120\left(-18y+\frac{14}{5}\right)+2205y=340.5$$

-18y+\frac{14}{5}क 120 फावटी गुणचें.

$$-2160y+336+2205y=340.5$$

2205y कडेन -2160y ची बेरीज करची.

$$45y+336=340.5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 336 वजा करचें.

$$45y=4.5$$

दोनुय कुशींक 45 न भाग लावचो.

$$y=0.1$$

x=-18y+\frac{14}{5} त y खातीर 0.1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-18\times 0.1+\frac{14}{5}$$

0.1क -18 फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-9+14}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -1.8 क \frac{14}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1,y=0.1$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$40x+720y=112,120x+2205y=340.5$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2205}{40\times 2205-720\times 120}&-\frac{720}{40\times 2205-720\times 120}\\-\frac{120}{40\times 2205-720\times 120}&\frac{40}{40\times 2205-720\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{40}&-\frac{2}{5}\\-\frac{1}{15}&\frac{1}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{40}\times 112-\frac{2}{5}\times 340.5\\-\frac{1}{15}\times 112+\frac{1}{45}\times 340.5\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{10}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=1,y=\frac{1}{10}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$40x+720y=112,120x+2205y=340.5$$

40x आनी 120x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 120 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 40 न गुणचें.

$$120\times 40x+120\times 720y=120\times 112,40\times 120x+40\times 2205y=40\times 340.5$$

सोंपें करचें.

$$4800x+86400y=13440,4800x+88200y=13620$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 4800x+86400y=13440 तल्यान 4800x+88200y=13620 वजा करचो.

$$4800x-4800x+86400y-88200y=13440-13620$$

-4800x कडेन 4800x ची बेरीज करची. अटी 4800x आनी -4800x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$86400y-88200y=13440-13620$$

-88200y कडेन 86400y ची बेरीज करची.

$$-1800y=13440-13620$$

-13620 कडेन 13440 ची बेरीज करची.

$$-1800y=-180$$

दोनुय कुशींक -1800 न भाग लावचो.

$$y=\frac{1}{10}$$

120x+2205y=340.5 त y खातीर \frac{1}{10} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$120x+2205\times \frac{1}{10}=340.5$$

\frac{1}{10}क 2205 फावटी गुणचें.

$$120x+\frac{441}{2}=340.5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{441}{2} वजा करचें.

$$120x=120$$

दोनुय कुशींक 120 न भाग लावचो.

$$x=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1,y=\frac{1}{10}$$