सोडोवचें {l}{4x-5y=9}{7x-4y=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 5 y = 9 } \\ { 7 x - 4 y = 15 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{39}{19} = 2\frac{1}{19} \approx 2.052631579$$

$$y=-\frac{3}{19}\approx -0.157894737$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$4x-5y=9,7x-4y=15$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$4x-5y=9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5y ची बेरीज करची.

$$4x=5y+9$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+9\right)$$

5y+9क \frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{9}{4}$$

7x-4y=15 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{5y+9}{4} बदलपी घेवचो.

$$7\left(\frac{5}{4}y+\frac{9}{4}\right)-4y=15$$

\frac{5y+9}{4}क 7 फावटी गुणचें.

$$\frac{35}{4}y+\frac{63}{4}-4y=15$$

-4y कडेन \frac{35y}{4} ची बेरीज करची.

$$\frac{19}{4}y+\frac{63}{4}=15$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{63}{4} वजा करचें.

$$\frac{19}{4}y=-\frac{3}{4}$$

\frac{19}{4} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-\frac{3}{19}$$

x=\frac{5}{4}y+\frac{9}{4} त y खातीर -\frac{3}{19} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{5}{4}\left(-\frac{3}{19}\right)+\frac{9}{4}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{3}{19} क \frac{5}{4} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{15}{76}+\frac{9}{4}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{15}{76} क \frac{9}{4} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{39}{19}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{39}{19},y=-\frac{3}{19}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$4x-5y=9,7x-4y=15$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{7}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{19}\times 9+\frac{5}{19}\times 15\\-\frac{7}{19}\times 9+\frac{4}{19}\times 15\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{39}{19}\\-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{39}{19},y=-\frac{3}{19}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$4x-5y=9,7x-4y=15$$

4x आनी 7x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 7 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न गुणचें.

$$7\times 4x+7\left(-5\right)y=7\times 9,4\times 7x+4\left(-4\right)y=4\times 15$$

सोंपें करचें.

$$28x-35y=63,28x-16y=60$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 28x-35y=63 तल्यान 28x-16y=60 वजा करचो.

$$28x-28x-35y+16y=63-60$$

-28x कडेन 28x ची बेरीज करची. अटी 28x आनी -28x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-35y+16y=63-60$$

16y कडेन -35y ची बेरीज करची.

$$-19y=63-60$$

-60 कडेन 63 ची बेरीज करची.

$$-19y=3$$

दोनुय कुशींक -19 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{3}{19}$$

7x-4y=15 त y खातीर -\frac{3}{19} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$7x-4\left(-\frac{3}{19}\right)=15$$

-\frac{3}{19}क -4 फावटी गुणचें.

$$7x+\frac{12}{19}=15$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{12}{19} वजा करचें.

$$7x=\frac{273}{19}$$

दोनुय कुशींक 7 न भाग लावचो.

$$x=\frac{39}{19}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{39}{19},y=-\frac{3}{19}$$