सोडोवचें {l}{4x-2y=8}{2x+y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 2 y = 8 } \\ { 2 x + y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=-1$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$4x-2y=8,2x+y=2$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$4x-2y=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y ची बेरीज करची.

$$4x=2y+8$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+8\right)$$

8+2yक \frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

2x+y=2 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{y}{2}+2 बदलपी घेवचो.

$$2\left(\frac{1}{2}y+2\right)+y=2$$

\frac{y}{2}+2क 2 फावटी गुणचें.

$$y+4+y=2$$

y कडेन y ची बेरीज करची.

$$2y+4=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4 वजा करचें.

$$2y=-2$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$y=-1$$

x=\frac{1}{2}y+2 त y खातीर -1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)+2$$

-1क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{2}+2$$

-\frac{1}{2} कडेन 2 ची बेरीज करची.

$$x=\frac{3}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$4x-2y=8,2x+y=2$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{4-\left(-2\times 2\right)}&\frac{4}{4-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 8+\frac{1}{4}\times 2\\-\frac{1}{4}\times 8+\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$4x-2y=8,2x+y=2$$

4x आनी 2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न गुणचें.

$$2\times 4x+2\left(-2\right)y=2\times 8,4\times 2x+4y=4\times 2$$

सोंपें करचें.

$$8x-4y=16,8x+4y=8$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 8x-4y=16 तल्यान 8x+4y=8 वजा करचो.

$$8x-8x-4y-4y=16-8$$

-8x कडेन 8x ची बेरीज करची. अटी 8x आनी -8x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-4y-4y=16-8$$

-4y कडेन -4y ची बेरीज करची.

$$-8y=16-8$$

-8 कडेन 16 ची बेरीज करची.

$$-8y=8$$

दोनुय कुशींक -8 न भाग लावचो.

$$y=-1$$

2x+y=2 त y खातीर -1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x-1=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 1 ची बेरीज करची.

$$2x=3$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{3}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$