सोडोवचें {l}{4x+y=5}{2x-y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + y = 5 } \\ { 2 x - y = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=3$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$4x+y=5,2x-y=-2$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$4x+y=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$4x=-y+5$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+5\right)$$

-y+5क \frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

2x-y=-2 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-y+5}{4} बदलपी घेवचो.

$$2\left(-\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)-y=-2$$

\frac{-y+5}{4}क 2 फावटी गुणचें.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}-y=-2$$

-y कडेन -\frac{y}{2} ची बेरीज करची.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}=-2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{5}{2} वजा करचें.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{9}{2}$$

-\frac{3}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=3$$

x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{4} त y खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

3क -\frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-3+5}{4}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{3}{4} क \frac{5}{4} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{1}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{1}{2},y=3$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$4x+y=5,2x-y=-2$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-2}&-\frac{1}{4\left(-1\right)-2}\\-\frac{2}{4\left(-1\right)-2}&\frac{4}{4\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 5+\frac{1}{6}\left(-2\right)\\\frac{1}{3}\times 5-\frac{2}{3}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{1}{2},y=3$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$4x+y=5,2x-y=-2$$

4x आनी 2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न गुणचें.

$$2\times 4x+2y=2\times 5,4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\left(-2\right)$$

सोंपें करचें.

$$8x+2y=10,8x-4y=-8$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 8x+2y=10 तल्यान 8x-4y=-8 वजा करचो.

$$8x-8x+2y+4y=10+8$$

-8x कडेन 8x ची बेरीज करची. अटी 8x आनी -8x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$2y+4y=10+8$$

4y कडेन 2y ची बेरीज करची.

$$6y=10+8$$

8 कडेन 10 ची बेरीज करची.

$$6y=18$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$y=3$$

2x-y=-2 त y खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x-3=-2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3 ची बेरीज करची.

$$2x=1$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{1}{2},y=3$$