सोडोवचें {l}{4x+y=-5}{3x-2y=-14}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + y = - 5 } \\ { 3 x - 2 y = - 14 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = -\frac{24}{11} = -2\frac{2}{11} \approx -2.181818182$$

$$y = \frac{41}{11} = 3\frac{8}{11} \approx 3.727272727$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$4x+y=-5,3x-2y=-14$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$4x+y=-5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$4x=-y-5$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y-5\right)$$

-y-5क \frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}$$

3x-2y=-14 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-y-5}{4} बदलपी घेवचो.

$$3\left(-\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}\right)-2y=-14$$

\frac{-y-5}{4}क 3 फावटी गुणचें.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{15}{4}-2y=-14$$

-2y कडेन -\frac{3y}{4} ची बेरीज करची.

$$-\frac{11}{4}y-\frac{15}{4}=-14$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{15}{4} ची बेरीज करची.

$$-\frac{11}{4}y=-\frac{41}{4}$$

-\frac{11}{4} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{41}{11}$$

x=-\frac{1}{4}y-\frac{5}{4} त y खातीर \frac{41}{11} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{41}{11}-\frac{5}{4}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{41}{11} क -\frac{1}{4} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{41}{44}-\frac{5}{4}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{41}{44} क -\frac{5}{4} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{24}{11}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{24}{11},y=\frac{41}{11}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$4x+y=-5,3x-2y=-14$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-3}&-\frac{1}{4\left(-2\right)-3}\\-\frac{3}{4\left(-2\right)-3}&\frac{4}{4\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\left(-5\right)+\frac{1}{11}\left(-14\right)\\\frac{3}{11}\left(-5\right)-\frac{4}{11}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{24}{11}\\\frac{41}{11}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-\frac{24}{11},y=\frac{41}{11}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$4x+y=-5,3x-2y=-14$$

4x आनी 3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न गुणचें.

$$3\times 4x+3y=3\left(-5\right),4\times 3x+4\left(-2\right)y=4\left(-14\right)$$

सोंपें करचें.

$$12x+3y=-15,12x-8y=-56$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 12x+3y=-15 तल्यान 12x-8y=-56 वजा करचो.

$$12x-12x+3y+8y=-15+56$$

-12x कडेन 12x ची बेरीज करची. अटी 12x आनी -12x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$3y+8y=-15+56$$

8y कडेन 3y ची बेरीज करची.

$$11y=-15+56$$

56 कडेन -15 ची बेरीज करची.

$$11y=41$$

दोनुय कुशींक 11 न भाग लावचो.

$$y=\frac{41}{11}$$

3x-2y=-14 त y खातीर \frac{41}{11} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x-2\times \frac{41}{11}=-14$$

\frac{41}{11}क -2 फावटी गुणचें.

$$3x-\frac{82}{11}=-14$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{82}{11} ची बेरीज करची.

$$3x=-\frac{72}{11}$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{24}{11}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{24}{11},y=\frac{41}{11}$$